Was ist mit der leeren Menge?

Question

Die leere Menge müsste hier doch auch noch in den Ausdruck aufgenommen werden oder wird das durch $0^\star$ dargestellt?

In den anderen Aufgaben wird  $\emptyset^\star$ ja immer noch an den Anfang des Ausdrucks gestellt um auszudrücken dass der Anfangszustand auch Endzustand ist.

Comments

Hallo uxdui,

ist Deine Frage nicht die gleiche wie in http://info2.aifb.kit.edu/qa/index.php?qa=2688&qa_1=fehlt-nicht-leere-menge-damit-s0-endzustand-ist ? Falls nein, müsstest Du sie nochmal etwas genauer spezifizieren...

Viele Grüße

Jonas (Tutor)

Answer 1

Zunächst einmal gibt es einen wichtigen Unterschied zwischen der leeren Menge und dem leeren Wort. Die leere Menge $\emptyset$ ist einfach eine Menge, die kein Element enthält. Das leere Wort $\lambda$ ist dagegen ein ganz normales Wort, das halt die Länge 0 hat.

Die leere Menge zu einer Sprache $L$ hinzuzufügen ist unnötig, da sich die Sprache dadurch nicht verändert. Die Vereinigung von $L$ und der leeren Menge ist weiterhin $L$:

$$L \cup \emptyset = L$$

Es gilt daher für alle regulären Audrücke $x$:

$$L(x + \emptyset) = L(x)$$

Die leere Menge hat trotzdem ihre Berechtigung in regulären Ausdrücken, denn mit dem Ausdruck 

$$\emptyset^\star$$

kann man das leere Wort darstellen. Das ist mathematisch nicht ganz intuitiv, aber eigentlich ganz einfach: Die $k$-fache Hintereinanderschreibung von "nichts", was ja durch

$$\emptyset^\star = \emptyset^0 + \emptyset + \emptyset\cdot\emptyset + \emptyset\cdot\emptyset\cdot\emptyset + \ldots = \sum_{k \in \mathbb{N}_0} \emptyset^k$$

dargestellt wird, ist nichts, wenn wir $k>0$ annehmen. D.h. alles, außer $\emptyset^0$ fällt weg im obigen Term. Ähnlich wie in der Arithmetik $n^0=1$ für beliebige $n$ gilt (sogar für $n=0$), ist nun $\emptyset^0=\lambda$ definiert, daher ist 

$$\emptyset^\star=\emptyset^0=\lambda$$

Wenn wir also das leere Wort in einem regulären Ausdruck haben möchten (das ist etwa der Fall, wenn von einem endlichen Automaten ausgegangen wird und bei diesem der Anfangszustand ein Endzustand war), dann können wir $\emptyset^\star$ schreiben.

Das ist allerdings nicht die einzige Möglichkeit, das leere Wort zu erhalten - jeder Ausdruck $(x)^\star$ enthält ja auf dieselbe Weise das leere Wort, wie gerade beschrieben - indem $k=0$ gesetzt wird. In dem Ausdruck, auf den Sie sich beziehen, steht nun unter anderem ein $0^\star$ ganz hinten im Term. Durch diesen Teilausdruck kann das leere Wort gebildet werden (zusammen mit $0, 00, 000, \ldots$) und muss also nicht explizit hingeschrieben werden.