Theoretische und technische Informatik - ganz praktisch - Letzte Aktivität in 2011 Nachklausur

Beantwortet: Rechtslineare Grammatik in Greibach-NF

Fri, 04 Feb 2022 19:26:39 +0000

Hallo ueyfv,

da hast du recht, die rechtslineare Grammatik muss lambdafrei sein, damit man 'nichts' machen muss. Ansonsten muss man sie lambdafrei machen.

Die einzige Sonderregel bei der Greibach-Normalform mit Lambda ist, dass das Startsymbol auf Lambda abgebildet werden darf, wenn es auf keiner rechten Seite auftaucht (und zwar genau dann, wenn das leere Wort zur Sprache gehört)

Viele Grüße

Anne (Tutorin)

Beantwortet: Umwandlung einer kontextfreien Grammatik in eine CNF ?

Mon, 12 Feb 2018 14:32:53 +0000

Hallo,

wenn sich durch einen Schritt keine Änderung ergeben, muss dieser nicht explizit aufgeschrieben werden. (Außer es wird in der Aufgabenstellung verlangt.)
Allerdings ist es grundsätzlich von Vorteil, wenn Zwischenschritte mit angegeben werden, damit wir eventuelle Fehler nachvollziehen und Teilpunkte vergeben können.

Viele Grüße
Julia (Tutorin)

Beantwortet: alternative Lösung

Thu, 02 Feb 2017 19:12:29 +0000

Hallo,

in der Aufgabe wird nach einem deterministischen Kellerautomaten gefragt.
Da bereits ein Übergang (s1, c, a) -> (s1, lambda) existiert, dürfen Sie keine Lambdaübergänge verwenden.

Kommentar bearbeitet: Kann man die Funktion auch am NMOS Bereich ablesen?

Tue, 16 Feb 2016 22:56:16 +0000

Ich bin weiterhin an einer Antwort auf diese Frage interessiert, ja :)

Antwort bearbeitet: Reguläre Ausrücke - Alternative Lösung

Sat, 13 Feb 2016 15:48:36 +0000

Hallo uagll,
leider stimmt dein regulärer Ausdrucks nicht ganz, da dieser z.B. auch das Wort w=222 beschreibt, indem wir (02)* bzw. (01)* gar nicht schreiben und anschließend beliebig viele 2er schreiben. Um dies zu verhindern, musst du wie in der Musterlösung sicherstellen, dass mindestens einmal die (01) oder (02) durchlaufen wird (also ohne "*"), sodass wir in einen Enduzustand gelangen (dies gilt natürlich nur für den Fall, wenn du am Ende in s1 gelangen möchtest).

Anschließend könntest du den hinteren Teil deines regulären Ausdrucks dazu verwenden, weitere Zyklen zu durchlaufen.

Ich hoffe das hilft dir weiter!

Viele Grüße,

Tim (Tutor)

Antwort ausgewählt: Was ist mit der leeren Menge?

Sat, 06 Feb 2016 12:12:30 +0000

Zunächst einmal gibt es einen wichtigen Unterschied zwischen der leeren Menge und dem leeren Wort. Die leere Menge $\emptyset$ ist einfach eine Menge, die kein Element enthält. Das leere Wort $\lambda$ ist dagegen ein ganz normales Wort, das halt die Länge 0 hat.

Die leere Menge zu einer Sprache $L$ hinzuzufügen ist unnötig, da sich die Sprache dadurch nicht verändert. Die Vereinigung von $L$ und der leeren Menge ist weiterhin $L$:

$$L \cup \emptyset = L$$

Es gilt daher für alle regulären Audrücke $x$:

$$L(x + \emptyset) = L(x)$$

Die leere Menge hat trotzdem ihre Berechtigung in regulären Ausdrücken, denn mit dem Ausdruck

$$\emptyset^\star$$

kann man das leere Wort darstellen. Das ist mathematisch nicht ganz intuitiv, aber eigentlich ganz einfach: Die $k$-fache Hintereinanderschreibung von "nichts", was ja durch

$$\emptyset^\star = \emptyset^0 + \emptyset + \emptyset\cdot\emptyset + \emptyset\cdot\emptyset\cdot\emptyset + \ldots = \sum_{k \in \mathbb{N}_0} \emptyset^k$$

dargestellt wird, ist nichts, wenn wir $k>0$ annehmen. D.h. alles, außer $\emptyset^0$ fällt weg im obigen Term. Ähnlich wie in der Arithmetik $n^0=1$ für beliebige $n$ gilt (sogar für $n=0$), ist nun $\emptyset^0=\lambda$ definiert, daher ist

$$\emptyset^\star=\emptyset^0=\lambda$$

Wenn wir also das leere Wort in einem regulären Ausdruck haben möchten (das ist etwa der Fall, wenn von einem endlichen Automaten ausgegangen wird und bei diesem der Anfangszustand ein Endzustand war), dann können wir $\emptyset^\star$ schreiben.

Das ist allerdings nicht die einzige Möglichkeit, das leere Wort zu erhalten - jeder Ausdruck $(x)^\star$ enthält ja auf dieselbe Weise das leere Wort, wie gerade beschrieben - indem $k=0$ gesetzt wird. In dem Ausdruck, auf den Sie sich beziehen, steht nun unter anderem ein $0^\star$ ganz hinten im Term. Durch diesen Teilausdruck kann das leere Wort gebildet werden (zusammen mit $0, 00, 000, \ldots$) und muss also nicht explizit hingeschrieben werden.

Beantwortet: Mir ist nicht ganz klar, warum 0100 nur enthalten sein muss und das Wort nicht auch auf 0100 enden muss.

Sat, 10 Oct 2015 18:49:23 +0000

Eine Turingmaschine akzeptiert ein Wort genau dann, wenn diese in einem Endzustand hält und es keine weiteren Folgekonfigurationen gibt. Das Wort muss hierzu nicht abgearbeitet sein.

Viele Grüße

Friederike Pfeiffer-Bohnen und Lukas König

Beantwortet: müssen wir den Baum auch Zeichen (können)?

Sat, 10 Oct 2015 10:28:09 +0000

Ich kann dir keine verbindliche Auskunft geben, aber meiner Meinung nach sollte es reichen, wenn du den Baum so wie auf den Tutoriumsfolien zeichnest, d.h. direkt an die Häufigkeitsverteilung und mit der Wurzel nach unten. Ich glaube, es gibt irgendwo noch eine ähnliche Frage im Forum, auf die die Übungsleiter geantwortet haben und in der es auch um eine alternative Darstellung des Baumes ging, weiß aber nicht mehr, in welchem Thread das war...

Tobias (Tutor)

Beantwortet: Gibt es verschiedene Lösung bei Aufgabe a) ?

Sat, 10 Oct 2015 10:26:48 +0000

Wie so oft gibt es hier natürlich auch wieder verschiedene Lösungen (siehe Folien Anwesenheitsübung). Je nach dem, ob man die 1 links und die 0 rechts schreibt oder eben andersrum: Es entsteht eine unterschiedliche Lösung. Allerdings entstehen die unterschiedliche Lösungen auch dann, wenn wir verschieden Möglichkeiten haben, die Knoten zusammen zu führen. Um zu überprüfen, ob deine Lösung korrekt ist, vergleiche die Code-Länge mit der Code-Länge der Lösung. Diese sollten gleich groß sein.

Grüße

Simon

Beantwortet: A8: Gibt es jeweils eine andere Formel für 4 und 3 Bit? Bzw. jegliche andere Bitzahl?

Sat, 10 Oct 2015 10:25:43 +0000

In dieser Aufgabe wird gefragt, wie viele Bits man pro Zeichen spart. Das lässt sich einfach ausrechnen: "Bit pro Zeichen ohne Huffman-Kodierung" - "Bit pro Zeichen mit Huffman-Kodierung" = 4 - 3,25 = 0,75.

Wo hast du die anderen Ansätze gesehen? Sie scheinen mir etwas anderes zu berechnen. Methode 2 berechnet, um viel viele Prozent die ursprüngliche Kodierung länger ist als die Huffman-Kodierung. Dies ist hier aber nicht gefragt. Was deine erste Methode berechnet, kann auf die Schnelle nicht erkennen.

Tobias (Tutor)

Bearbeitet: Was passiert bei $n>m$?

Sat, 10 Oct 2015 06:00:49 +0000

Was würde passieren, wenn n größer als m wäre? Dann gäbe es ja z.B. eine Situation $(s_1, d, k_0)$, die nicht definiert wäre, wobei wir uns ja in einem Endzustand befinden. Das wäre dann ungültig, weil kein entsprechender Zustandsübergang definiert ist, unabhängig davon, dass man sich schon in einem Endzustand befindet, oder? Das ist mir grad noch nicht ganz klar. Sonst waren es ja meistens Fälle, in denen ich mich bei ungültigen Wörtern nicht "weiterbewegen kann", während ich mich in einem Nicht-Endzustand befinde. Danke schonmal!

Beantwortet: Ist auch eine umständlichere Lösung denkbar?

Tue, 29 Sep 2015 10:44:47 +0000

Prinzipiell können Sie das auch so machen, die andere Lösung ist natürlich schöner,weil sie kürzer ist (aber das war hier ja nicht verlangt): Demnach, wenn Ihr Automat sinst richtig ist, dann passt das.

Vielel Grüße

Ihre Übungsleiter

Beantwortet: a): Warum geht KA beim akzeptieren vom leeren Wort im ersten Schritt nicht in s1?

Tue, 29 Sep 2015 10:43:49 +0000

Da s0 auch Endzustand ist, wird das leere Wort direkt akzeptiert. Sie brauchen dazu also nicht s0 zu verlassen. (das müssten Sie nur machen, wenn irgendwelche Wörter am Anfang aufreten können, die Sie nicht akzeotieren dürfen, aber da in s0 ja nur a's und b's eingelesen werden, und jede Kombination aus nur a's und b's zur Sprache gehört, müssen Sie s0 hier nicht verlassen).

Viele Grüße

Friederike Pfeiffer-Bohnen und Lukas König

Beantwortet: Muss der Keller nach dem Abarbeiten des Wortes leer sein?

Tue, 29 Sep 2015 10:40:18 +0000

Der Keller muss nach unserer Definition nach nicht leer sein. Sie können dies auch nochmal auf den Folien nachschauen.

Viele Grüße

Friederike Pfeiffer-Bohnen und Lukas König

Beantwortet: sind 3 Zustände nicht besser?

Tue, 29 Sep 2015 10:38:56 +0000

Ja das ist möglich. Es ist aber sehr wichtig, dass dein weiterer "logischer Aufbau" richtig ist. Du musst beachten, dass die Zustände stimmen und auch der neue Zustand ein Endzustand ist. Ohne die weiteren Übergänge kann ich aber keine genaueren Aussagen machen. Grundsätzlich ist es aber möglich.

Gruß Alexander (Tutor)

Beantwortet: b): A=B -> beide Elemente durchlässig

Tue, 29 Sep 2015 09:55:49 +0000

Hallo,

p-MOS dreht das Signal NICHT UM! p-MOS Transistoren stellen bei einer Null am Eingang eine leitende Verbindung her. Sie schließen für 0.

Also:
A=B=0: p-MOS schließt und n-MOS öffnet ==> Vdd ist mit C verbunden, es liegt also eine 1 am Ausgang an.

A=B=1: p-MOS öffnet und n-MOS schließt ==> GND ist mit C verbunden und es liegt eine 0 am Ausgang an.

Viele Grüße,

Julian (Tutor)

Beantwortet: b): Bedeutung der Parallelschaltung?

Tue, 29 Sep 2015 09:54:22 +0000

Hallo,

damit sind die zwei PMOS bzw. die zwei NMOS Bausteine gemeint. Von oben liegt eine Spannung an. Da mindestens einer von den beiden PMOS durchschaltet, kann hier Strom fließen. Das gleiche gilt dann auch unten bei den NMOS. Mindestens einer davon schaltet durch. Somit kann ein Strom von VDD nach GND fließen. Das wird ja nicht gewollt. Nun kann nämlich ein Strom ohne Spannungsverlust durch das Bauelement fließen.

Grüße

Simon (Tutor)

Beantwortet: a): ausführliche Erklärung?

Tue, 29 Sep 2015 09:15:05 +0000

Meiner Meinung nach ist die Musterlösung korrekt. Die "JNZ-Schleife" wird, wie du richtig erkannt hast, x-mal ausgeführt. In der "Schleife" stehen 3 Befehle:

MULTIPLY R1, R2, R2
MULTIPLY R2, R1, R2
SUBTRACT R3, #1, R3

Der letzte dekrementiert nur die "Schleifenvariable" r3, aber der erste speichert r1*r2 in r2 ab. Der zweite Befehl berechnet r2*r1 und speichert das ergebnis ab. Setzt man jetzt den Wert, der r2 im ersten Befehl zugewiesen wird, in den zweiten ein, sieht man, dass der Wert r2*(r1^2) in r2 gespeichert wird, d.h. r2 wird mit r1^2 multipliziert. Nach dem ersten Durchlauf steht in r2 also y*x^2. Im nächsten Durchlauf wird dieses Zwischenergebnis nochmal mit r1^2 = x^2 multipliziert, also steht danach y*x^2 * x^2 in r2 usw. Insgesamt steht also nach dem letzten Durchlauf y*((x^2)^x) =y*x^(2*x) in r2. Mit dem letzten ADD-Befehl kommt man auf die Musterlösung.

Tobias (Tutor)

Beantwortet: Unterschied zwischen den 3 Protokollen?

Tue, 29 Sep 2015 09:12:18 +0000

IP ist ein verbindungsloses Netzwerkprotokoll (Kommunikationsprotokoll). Computer in einem Netzwerk werden in Gruppen (logische Einheiten) unterteilt. An jeder „Weggabelung“ (Router) wird für jedes einzelne Datenpaket entschieden über welchen Pfad es weitergeleitet wird, verschiedene Datenpakete können also über verschiedene Wege zum Ziel gelangen.

TCP stellt eine Verbindung zwischen zwei Endpunkten einer Netzverbindung her, sodass man in beide Richtungen Daten übertragen kann. Es ist also ein zuverlässiges, verbindungsorientiertes, paketvermittelndes Transportprotokoll in Computernetzwerken.

UDP ist ein minimales, verbindungsloses Netzwerkprotokoll, es soll übertragene Daten den richtigen Anwendungen zukommen lassen, schickt also z.B. die Information mit, an wen das Datenpaket gelangen soll. Dieses Protokoll beugt vor allem Verzögerungen (z.b. bei Sprachübertragungen) vor, allerdings können einzelne Datenpakete zu spät oder gar nicht ankommen.

Ich hoffe das hilft.

Gruß,

Alex (Tutor)

Beantwortet: Boolesche Ausdrücke immer mit *,',+ ?

Tue, 29 Sep 2015 09:06:16 +0000

Hallo,

prinzipiell werden Terme der Booleschen Algebra mit + bzw. * gekennzeichnet. Bei der Schaltalgebra verwenden wir $ \vee $ bzw. $ \wedge $. Bei der Korrektur sind wir da aber nicht so streng.

Viele Grüße

Friederike Pfeiffer-Bohnen, Micaela Wünsche und Lukas König

Beantwortet: alternative Argumentation PPL?

Tue, 29 Sep 2015 08:58:05 +0000

Ich vermute, du gehst davon aus, dass die Anzahl der 2er doppelt so groß wie die der 1er sein muss und die der 3er dreimal so groß. Die Sprache schreibt aber nur vor, dass die Anzahl der 2er gerade und die der 3er durch drei teilbar sein muss.

Beispiel an der ursprünglichen Grammatik:

S -> XYZ -> 1XYZ -> 1X 22 Z -> 11X 22 Z -> 11X 22 333 -> 111X 22 333 -> 1111 22 333

Deshalb liegt $1(n-j+5j)2^{2n}3^{3n}$ innerhalb der Sprache. (Über X -> 1X | 1 kann man beliebig viele 1en erzeugen, ohne Auswirkungen auf den 2er bzw. 3er Block ...)

Die Sprache der Wörter der Bauart $ 1^n 2^{2n} 3^{3n} $ ist nicht vom Typ 3 (siehe dein Pumping-Lemma-Beweis)

Gruß,

Tobias (Tutor)

Beantwortet: d): N --> Lamda bei Greibach-Normalform?

Tue, 29 Sep 2015 08:54:42 +0000

Sie haben recht, dass die Regel N --> lambda natürlich bei der Greibach Normalform nicht erlaubt ist.

Die Lösung in der Klausur ist das minimal geforderte (und streng genommen auch nicht ganz korrekt), wenn Sie an dieser Stelle geschrieben hätten, dass n--> zu viel ist, dann hätten Sie natürlich auch die volle Punktzahl erhalten.

Viele Grüße

Friederike Pfeiffer-Bohnen und Lukas König

Beantwortet: Nonterminal- und Terminalzeichen in falscher Reihenfolge ?

Tue, 29 Sep 2015 08:52:05 +0000

Hallo,

du hast recht. Bisher war eine Grammatik wie folgt definiert: G = (N, T, P, S). Somit müsste man die Mengen vertauschen, also so: G =({S,X,Y,Z},{1,2,3},P,S). Die Reihenfolge innerhalb der Klammern macht keinen Unterschied, da es Mengenklammern sind. In der Klausur ist die Reihenfolge der Elemente des Tupels "prinzipiell" nicht egal.

Grüße

Simon( Tutor)

Beantwortet: b) genaue Erklärung?

Tue, 29 Sep 2015 08:50:51 +0000

Hi,

schau dir am besten nochmal an, wie sich die verschiedenen Typen von Grammatiken unterscheiden. Am besten fängt man mit Typ 3 an, dafür gibt es die meisten Einschränkungen. Wenn dies nicht zutrifft, prüft man ob Typ 2 vorliegt, etc. Für Typ 2 gilt, dass ein Nonterminal auf ein oder mehrere Nonterminal- oder Terminalsymbole abbildet. Im Gegensatz zu Typ 1 muss immer von einem Nonterminal ausgehend abgeleitet werden. Da dies hier zutrifft, ist das größte i 2.

Bei der b) wird geschaut, von welchem Typ die von G erzeugte Sprache ist. Man kann erkennen, dass X immer zu mindestens einer 1 wird, Y immer zu einer durch 2 teilbaren Anzahl an 2en wird und Z zu einer durch 3 teilbaren Anzahl an 3en. Wenn man dazu die Grammatik aufschreibt, kann man versuchen, die Regeln für rechtslineare Grammatiken zu beachten um zu prüfen, ob L(G) vom Typ 3 ist.
Alternativ könnte man auch direkt die Grammatik aus a) umformulieren, sodass diese rechtslinear wird. Dann ist die Sprache nämlich auch vom Typ 3.

Gruß,
Jonas B. (Tutor)

Beantwortet: alternative Argumentation, sodass clique_mod-c NP Schwierig?

Tue, 29 Sep 2015 08:27:29 +0000

Ich tue mich extrem schwer, deine Argumentation nachzuvollziehen, daher hier ein paar Anmerkungen zu den einzelnen Schritten

- clique ist polynomiell reduzzierbar auf SAT

ok, das folgt aus clique $ \in $ NP und SAT ist NP-vollständig

- clique mit k Knoten ist polynomiell reduzzierbar auf k-SAT

Wie kommst du darauf? Ich weiß ehrlich gesagt nicht, ob das wahr ist. Vermutlich ja, Beweisidee:

clique mit k Knoten auf clique reduzieren, dann auf k-SAT (ist für $ k \geq 3$ NP-Vollständig)

- clique ist k-c Knoten ist polynomiell reduzzierbar auf (k-c)-SAT

folgt aus der (zweifelhaften) zweiten Aussage.

- (k-c) SAT ist $ \in $ NP Schwer da SAT $ \in $ NP

Ich verstehe nicht, wie du hier argumentierst. Das ist für k-c=2 falsch, falls P $ \ne $ NP gilt (2-SAT liegt in P)

OK, (k-c) SAT ist für $ k - c \geq 3 $ NP-vollständig, aber das lässt sich nicht ohne weiteres aus SAT \in NP folgern.

- daher ist auch clique $ \in $ NP Schwer [ich vermute, du meinst $ clique_{mod-c}$ . dass clique NP-Schwer ist, folgt sofort aus clique NP-Vollständig (laut Aufgabenstellung) ]

Daraus, dass ich ein Problem X auf ein NP-Schweres Problem polynomiell reduzieren kann, folgt nicht, dass das Problem X auch NP-Schwer ist. Gegenbeispiel Sortieren einer Liste von Zahlen:

Mergesort hat Komplexität O(n log n) -> Sortieren liegt in P
Daher muss Sortieren auf SAT reduzierbar sein (Def. von NP-Vollständig)
Wenn Sortieren NP-Schwer ist, dann kann man (wegen SAT $ \in $ NP und der Def. von NP-Schwer) SAT polynomiell auf Sortieren reduzieren -> wir haben einen Algorithmus, der SAT deterministisch in Polynomialzeit löst (!), also P = NP
falls $ P \ne NP $ gilt, entsteht ein Widerspruch.

Schau dir lieber nochmal die Definition von NP-Schwer an und achte darauf, dass deine Argumentation auch für andere verständlich und nachvollziehbar bleibt.

Du musst genau andersherum argumentieren: indem du ein bekanntermaßen NP-Schweres Problem auf das zu untersuchende Problem reduzierst, nicht umgekehrt!

Ich hoffe, du kannst mit meinen Anmerkungen etwas anfangen...

Gruß,

Tobias (Tutor)

Beantwortet: b): Was bedeutet das "feste" k genau?

Tue, 29 Sep 2015 08:18:47 +0000

Hallo,

die Antwort von Tobias ist vollkommen richtig und zeigt die mathematische Seite, aber vielleicht kann ich noch ein bisschen zum intuitiven Verständnis beitragen.

Wenn wir uns vorstellen, dass konstant k=10 gilt, dann ist es vielleicht ein intuitiv "schwieriges" Problem, in einem Graphen mit vielleicht n=30 Knoten nach einer Clique mit 10 Knoten zu suchen - das ist nicht anders als wenn wir das normale Clique-Problem auf diesen Graphen anwenden und k=10 setzen. Der Unterschied ist aber in der relativen Schwierigkeit, wenn die Knotenzahl n steigt (denn wir betrachten ja normalerweise den ZeitZUWACHS bei steigender Eingabelänge). Wenn wir in einem Graphen mit n=1000 nach einer Clique mit 10 Knoten suchen, dann ist das k verhältnismäßig klein und führt insgesamt zu einem nur polynomiellen Zuwachs der Laufzeit: $ O(n^k \cdot k^2) $. Ist das k nicht konstant, dann kann es mit n wachsen und wir erhalten beispielsweise mit $ k=\frac{n}{2}: O(n^{\frac{n}{2}} \cdot (\frac{n}{2})^2)$, was nicht mehr polynomiell ist.

(Das ist übrigens kein Beweis dafür, dass Clique ein schwieriges Problem ist, sondern nur eine obere Schranke. Sonst würde man ja noch schlimmere Komplexität bekommen, wenn man $k=n$ oder noch größer setzt, aber stattdessen wird es wieder leichter, wenn sich k der Knotenanzahl n annähert. Will man zeigen, dass Clique schwer ist, muss man eine Reduktion durchführen.)

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Fehlende Definition bei nEA?

Fri, 25 Sep 2015 09:24:45 +0000

Hallo,

grundlegend bildet ein regulärer Ausdruck eine Sprache durch Operationen und Operatoren ab und nicht einen spezifischen nichtdeterministischen endlichen Automaten. Diesen kann man ja auch immer in einen deterministischen umwandeln.

Alle Wörter, die nur aus 0en bestehen sind hier Teil der Sprache (0 00 000...). Der nichtdeterministische Automat "rät" dabei den richtigen Weg von s0 nach s4. Und im regulären Ausdruck ist es eben durch 0* gegeben.

Beantwortet: Fehlt nicht " +(leere Menge)^* " damit s0 Endzustand ist?

Fri, 25 Sep 2015 09:22:37 +0000

Hallo,

Das ist bereits durch 0* angegeben, da man dadurch auch beliebig viele Nullen (also auch gar keine) darstellen kann und somit die Möglichkeit der Darstellung der leeren Menge ermöglicht.

Lorena (Tutorin)

Kommentiert: Übersicht alternativer Lösungsvorschläge aus dem alten ILIAS-Forum

Fri, 25 Sep 2015 09:20:52 +0000

Dein Vorschlag ist leider nicht korrekt. Du kannst mit deinem Ausdruck beispielsweise das Wort 01200 erstellen. Dieses wird vom Automaten aber nicht erkannt und ist somit auch kein Teil der Sprache.

Viele Grüße

Lukas (Tutor)