Wieso kann eine Teilmenge, die nicht regulär ist, Teil einer regulären Sprache sein?

Question

Ich dachte, wenn die "Obersprache" (von der Menge her) regulär ist, ist dies auch die Untersprache. Wir reden hier ja über Mengen und bei Sprachen allgemein gilt doch:

Grammatiken eines Typs i können nur von Sprachen eines Typs j mit j >= i erzeugt werden. Dann müsste ja meiner Überlegung nach eine reguläre Sprache nur reguläre Sprachen enthalten dürfen richtig?

 

Ach und zur obigen Frage die Antwort: rechtslineare Sprachen sind reguläre Sprachen (dies ist äquivalent)

Answer 1

Ganz einfach: Nehmen Sie doch mal die Sprache $E^\star$ für irgendein Alphabet $E$. Diese Sprache ist definitiv regulär, denn ein endlicher Automat muss einfach nur alle Wörter akzeptieren (wie der Automat aussieht, können Sie sich ja mal überlegen). Wenn es stimmen würde, dass alle Teilmengen von regulären Mengen wieder regulär sind, dann gäbe es ja gar keine nicht-reguläre Sprachen.

Salopp gesagt entsteht die Schwierigkeit von Sprachen dadurch, dass man sich von den beiden trivialen Sprachen $\emptyset$ und $E^\star$, bzw. noch allgemeiner, von Regelmäßigkeiten ("Mustern") in der Wortbildung entfernt. Da kann man tun, indem man Wörter hinzufügt, aber auch, indem man Wörter weglässt. Hat man etwa die Sprache

$$\{a^nb^n \ | n \in \mathbb{N}\}$$

dann könnte man die Sprache schwieriger machen, indem man bspw. noch alle Wörter hinzunimmt, deren Länge eine Primzahl ist (unabhängig von $n$). Man könnte sie aber auch schwieriger machen, indem man alle Wörter entfernt, für die $n$ eine Primzahl ist.

PS. Diese Analogie stimmt nicht: 

Grammatiken eines Typs i können nur von Sprachen eines Typs j mit j >= i erzeugt werden. Dann müsste ja meiner Überlegung nach eine reguläre Sprache nur reguläre Sprachen enthalten dürfen richtig?

Eine reguläre Sprache ist etwas anderes als die Menge aller regulären Sprachen.