Hammingabstand und Hammingzahl in einer Aufgabe

Question

In Kapitel 4 Aufgabe 29 wird in Teilaufgabe e) verlangt, die Codewörter c(b) und c(c) so zu verändern, dass die neue Kodierung c' 1-fehlererkennbar wird.

Das heißt die neue Hammingzahl ist hc' = 2.

In der Lösung steht, dass c'(b) = 0000. Aber da c(b) = 1000, ist hier doch der Hammingabstand h(c, c') = 1 und somit ist das doch ein Widerspruch zur Forderung, dass die Hammingzahl hc'= 2 sein soll, oder irre ich mich da?

In Teilaufgabe f) soll man einer Kodierung c' zwei Bits hinzufügen, sodass diese 1-fehlerkorrigierbar wird.

In der Lösung wird angegeben, dass die Hammingzahl hc' = 3.

Aber ich könnte doch mit hc = 4 ebenfalls auf 1-Fehlerkorrigierbarkeit kommen, denn

[ (4-1) / 2 ] = 1. Wieso wird in der Lösung von hc'  = 3 ausgegangen?

Answer 1

Hallo utdtz,

zu d): Es sollen sowohl $ c ( b ) $ als auch $ c(c) $ so verändert werden, dass $ h_c = 2 $, also 1-fehlererkennbarkeit herrscht. Eine Lösung nur durch Änderung auf $ c' (b) = 0000 $ ist, wie richtig erkannt wurde, nicht möglich.

zu f): Die Fehlererkorrigierbarkeit ist in gewissem Sinne transitiv, denn wenn 2-fehlererkorrigierbarkeit herrscht, dann kann ich auch weniger Fehler korrigieren (z.B. einen). Wähle ich also im Beispiel $ h_c > 3 $ kann immernoch ein Fehler korrigiert werden (mehr ist nicht notwendig) und würde deutlich mehr Aufwand verursachen.

Ganz konkret aber gilt, dass die Codierung mit Erweiterung um 2 bits nicht einen Hammingzahl von 4 (oder größer) aufweisen kann. Somit bleibt nur $ h_c = 3$ übrig.

Weiterhin viel Erfolg,

Marvin (Tutor)