Erklärungsveruche zu den Fragen

Question

Hallo,

ich wollte mal fragen, ob ich die jeweiligen Aussagen korrekt verstanden habe:

1. NP-vollständige Probleme können in Polynomialzeit verifiziert werden, da sie in NP liegen und somit in nichtdeterministischer Polynomialzeit lösbar sind.

2. NP-Probleme sind in nichtdeterministischer Polynomialzeit lösbar. (ist gerade die Definition.)

3. NP-schwere Probleme sind mindestens so schwer wie alle Probleme in NP und können somit länger als Polyomialzeit in Anspruch nehmen oder gar semi-entscheidbar sein, also nie eine Lösung ergeben.

4. Alle in deterministischer Polynomialzeit lösbaren Probleme sind auch in nichtdeterministischer Polynomialzeit lösbar. Kann man das folgendermaßen begründen???: Wenn ein Problem durch eine deterministische Konfigurationenfolge lösbar ist, wird auch bei einer nichtdeterministischen irgendwann eine Lösung herauskommen?

Alle Probleme in NP, also auch die in P, sind polynomialzeitreduzierbar auf alle NP-schweren Problemen, also auch auf die NP-vollständigen.

5. Wenn ein NP-schweres Problem nich in NP liegt, ist es sooo schwer, dass es gar nicht mehr in Polynomialzeit lösbar sind. Trotzdem bzw. gerade deshalb sind immernoch alle Probleme aus NP - auch die NP-vollständigen - darauf polynomialzeitreduzierbar.

6. EXPSPACE ist größer als EXPTIME.

7. Alle entscheidbaren Mengen sind abzählbar endlich. Abzählbare unendliche Mengen (z.B. natürliche Zahlen) sind jedoch nicht entscheidbar. Stimmt das so???

 

Allgemein wollte ich noch fragen:

a) Wo liegt der Zusammenhang zwischen

Problem in nichtdeterministischer Polynomialzeit lösbar <=> durch nichtdeterministische Turingmaschine in Polynomialzeit entscheidbar ???

irgendwie sind mir da die Begriffsabgrenzungen nicht klar.

b) Gibt es Probleme, die eindeutig nicht entscheidbar sind? oder kann man die Aussage "nicht entscheidbar" gar nicht treffen, sodass die Probleme, von denen man glaubt, dass sie nicht entscheidbar sind, dann zu den semi-entscheidbaren zählen? Kann man ein Problem konstruieren, das von vornherein schonmal nicht entscheidbar ist?

 

LG

 

Answer 1

Alles richtig, bis auf 7). Es gibt viele entscheidbare Mengen, die unendlich sind - das sind ja gerade die interessanten (bspw. Mengen wie {a^n b^n | n in IN}). Ob die nat. Zahlen entscheidbar sind, hängt von der Kodierung ab, aber bei jeder vernünftigen Kodierung (bspw. die Kodierungen für Zahlen, die Sie kennengelernt haben) sind sie das.

(Vielleicht noch ein Kommentar zu 4): Determinismus ist ein Spezialfall von Nichtdeterminismus, bei dem alle Folgezustandsmengen einelementig sind.)

Zu a) Nach der erweiterten Churchschen These sind diese Begriffe austauschbar (d.h. wenn man ein Problem mit einer nichtdet. TM in Pol.-Zeit lösen kann, dann gilt das auch für alle anderen Lösungsplattformen inklusive moderner Computer mit Java, Pascal, Prolog, etc. und umgekehrt), und wir verwenden die Begriffe meistens (etwas lax) synonym.

Zu b) Semi-entscheidbare Probleme wie das Halteproblem sind "eindeutig" nicht entscheidbar. Ebenfalls nicht entscheidbar sind Probleme, die nicht einmal semi-entscheidbar sind wie bspw. die Sprache L_NA. Alle Probleme, die entscheidbar sind, sind aber auch semi-entscheidbar.

Viele Grüße

Lukas König