Nicht-kontextfreie Sprachen, die das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen erfüllen

Question

Hallo,

wieso ist hier die erste Frage richtig? Welche Sprachen erfüllen das PPL für kontextfreie Sprachen denn noch? Das PPL gilt doch nur für kontextfreie Sprachen und rechtslinieare Sprachen, welche ja aber immer auch kontextfreie Sprachen sind.

lg Adam

 

Answer 1

Hallo,

 

die Beziehung zwischen den regulären (bzw. kontextfreien) Sprachen und der Erfüllung des PPL für reguläre (bzw. kontextfreie) Sprachen ist keine Genau-Dann-Wenn-Beziehung, sondern eine einfache Implikation. Es gilt für eine Sprache $L$ und die Sprachklasse $L_3$ (bzw. $L_2$):

 

$L \in L_3 \Rightarrow L$ erfüllt das PPL für reguläre Sprachen

 

($L \in L_2 \Rightarrow L$ erfüllt das PPL für kontextfreie Sprachen)

 

Es gilt aber im allgemeinen NICHT die Umkehrung, bspw.:

 

L erfüllt das PPL für reguläre Sprachen $\rightarrow L \in L_3$

 

Man kann aber durch Negation der obigen Implikation folgern, dass eine Sprache, die NICHT das PPL für kontextfreie Sprachen erfüllt, auch NICHT kontextfrei ist. Das ist die Vorgehensweise, die wir gewöhnlich anwenden.

 

Ein Beispiel für eine nicht-kontextfreie Sprache, die dennoch das PPL für kontextfreie Sprachen erfüllt, ist:

 

$L'= \{a^i b^j c^k | i \neq j \neq k\}$

 

Ein Beispiel für eine nicht-reguläre Sprache, für die das PPL für reguläre Sprachen gilt, ist die Sprache $\overline{L}$ vom dritten Heimübungsblatt:

 

$\overline{L} = \{w \in \{0, 1\} | \forall x \in \{0, 1\}: w \neq xx\}$

 

Das heißt also, wenn man für eine Sprache durch deren Nicht-Erfüllung eines PPLs nachweisen will, dass sie nicht regulär oder nicht kontextfrei ist, dann klappt das in vielen Fällen, aber nicht immer.

 

Viele Grüße

 

Lukas König