alternative Argumentation PPL?

Question

Hallo,

kann ich mit dem Pumping Lemma nicht beweisen, dass das Wort
\( w = 1^n 2^{2n} 3^{3n}\)  nicht in Typ3 liegt?
Da \( |xy| \leq n\), kann xy höchstens aus 1 bestehen.
Wenn ich mit z.B. i = 5 pumpe, dann steht da:
\( 1(n-j+5j) 2^{2n}3^{3n} \) und das ist meines Erachtens nicht Element der Sprache.
Oder wo ist mein Denkfehler?

Viele Grüße & Dank!

Answer 1

Ich vermute, du gehst davon aus, dass die Anzahl der 2er doppelt so groß wie die der 1er sein muss und die der 3er dreimal so groß. Die Sprache schreibt aber nur vor, dass die Anzahl der 2er gerade und die der 3er durch drei teilbar sein muss.

Beispiel an der ursprünglichen Grammatik:

S -> XYZ -> 1XYZ -> 1X 22 Z -> 11X 22 Z -> 11X 22 333 -> 111X 22 333 -> 1111 22 333

Deshalb liegt \(1(n-j+5j)2^{2n}3^{3n}\) innerhalb der Sprache. (Über X -> 1X | 1 kann man beliebig viele 1en erzeugen, ohne Auswirkungen auf den 2er bzw. 3er Block ...)

Die Sprache der Wörter der Bauart \( 1^n 2^{2n} 3^{3n} \) ist nicht vom Typ 3 (siehe dein Pumping-Lemma-Beweis)

Gruß,

Tobias (Tutor)