c): Anderer Ansatz

Question

Ich glaube ich wäre niemals auf |xz| als Pumpvariable gekommen, aber ist denn auch ein anderer Ansatz möglich:

\(x = 1^{n-k}; y = 1^k; z = 1^{p-n}.\)

Damit ist xy genau n lang, es sind also alle möglichen Zerlegungen abgedeckt.
Pumpe ich nun mit "i", dann erhalte ich \(xy^in = 1^{p + i - 1}\)
Hiermit komme ich zur Behauptung: \( \exists i: p + i -1 \notin Primzahlen \)
Dies nun zu zeigen ist nicht so trivial, aber kann ich das so stehen lassen, weil bekannt ist, dass die Menge der Primzahlen eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, und sich somit immer ein i finden lässt?

Answer 1

Hallo,

der Gedankengang ist nachvollziehbar. Allerdings ist das Problem bei diesem Beweis, dass deine Behauptung nicht vollständig bewiesen wird und das zu beweisen ist natürlich nicht trivial, wie du schon selbst gesagst hast. 

Viele Grüße,

Sebastian (Tutor)

 

Comments

Also fällt das nicht unter eine Selbstverständlichkeit oder ähnliches?

Aber im Nachhinein fällt mir auf, dass zB für ein i = (p + 1) gilt:
\( p + i - 1 \) für \( i = (p + 1) \Leftrightarrow p + p = 2p \)

Damit gilt: \( p \in Primzahlen \Rightarrow 2p \notin Primzahlen\), da \(2p mod 2 = 0\)
und damit wäre das Pumping Lemma auch angewandt?