Verständnis

Question

Hallo,

bei der b) verstehe ich nicht, wie man auf die Funktion kommt.

Ich habe mir das selbst mal aufgeschrieben und bin auf die Funktion:

f(x)= x + Summe(mit i=1 und die Grenze n-1) von (x-i)

gekommen, habe also immer die Struktur x + (x-1) + (x-2).....  , wie sie auch bei der Ableitung von 10 und 15 funktioniert.

Jetzt bin ich natürlich sehr verwundert über die Musterlösung und würde mich über eine Erklärung insbesondere wie man bei sowas vorgeht freuen.

Danke im Voraus

Answer 1

Hallo,

wenn du genau hinsiehst, stellst du fest, dass
f(x) = x + (x-1) + (x-2) +...
das gleiche ist wie
f(x) = 1 + 2 + ... + x.
Du addierst jeweils die Werte von 1 bis x, nur drehst du in deiner Lösung die Reihenfolge der Werte um. Nichts anderes sagt die Funktion in b) aus:
f(n) = Summe_{i=1}^{n} i

Das, was noch dahinter steht, ist einfach eine andere Schreibweise, die sogenannte Gaußsche Summenformel (https://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsche_Summenformel). Mit dieser Schreibweise kannst du x direkt in Abhängigkeit von n ausdrücken, vor allem aber kannst du das Ergebnis wesentlich schneller ausrechnen. Stell dir vor, du willst die Werte von 1 bis 50 addieren; so viele Werte könnte dein Taschenrechner wahrscheinlich gar nicht auf einmal speichern. Da ist die Gaußsche Summenformel schon sehr praktisch :)

Viele Grüße,
Nayeli (Tutorin)

Answer 2

Hallo,

Die von die genannte Struktur $f(x)=x+(x-1)+(x-2)...$ ist korrekt und entspricht der in der Lösung gegeben Funktion $\sum\limits_{i=1}^N i$. Dafür kannst du beispielsweise f(4) berechnen. In deiner Form gilt f(4)=4+3+2+1=10 ,was offensichtlich äquivalent zu f(4)=1+2+3+4=10 nach der in der Musterlösung gegebenen Formel ist.

Der letzet Umformungsschritt $\sum\limits_{i=1}^N i=\frac{(n+1)*n}{2}$ ist lediglich die Gaußsche Summenformel

 

Ich hoffe das klärt deine Frage, weiterhin viel Erfolg beim lernen!

Jannik (Tutor)