Theoretische und technische Informatik - ganz praktisch - Letzte Fragen & Antworten in Übungsblatt 3

Beantwortet: Tut 3 Turing Maschine b)

Fri, 04 Feb 2022 19:09:24 +0000

Hallo ugtsf,

deine Lösung ist genauso korrekt. Nur wenn vorgegeben wird, wo der Lesekopf enden sollte muss es dort auch enden, sonst kann man überall enden.
Die Musterlösung aus dem Tut ist nur etwas schneller (wenn man nicht zweimal durch das Wort muss), aber das ändert nichts an der Richtigkeit deiner Lösung.

Auch bei Turingmaschinen gibt es oft mehrere Lösungen (das ist nicht speziell an dieser Aufgabe)

Viele Grüße

Anne (Tutorin)

Beantwortet: Turingmaschine

Fri, 21 Jan 2022 17:18:29 +0000

Hallo,

hier gehört zum Beispiel das Wort 101S101 oder 00S00 dazu, also links und rechts vom S steht das gleiche Wort.

Man arbeitet das Wort dann Stück für Stück ab, man schaut sich das linkeste nicht abgearbeitete Zeichen an in der linken Hälfte und prüft dann, ob das Zeichen in der rechten Hälfte das gleiche Zeichen ist. Die abgearbeiteten Zeichen werden hier mit K überschrieben

Ein gute Vorgehen ist hier immer, ein Beispiel Wort zu nehmen und dann zu schauen, wie man Vorgehen kann.

Viele Grüße

Anne (Tutorin)

Beantwortet: Pumping-Lemma

Mon, 10 Jan 2022 21:33:53 +0000

Hallo uqyws,

zu 1) eine Sprache ist regulär, wenn man alle Wörter durch Vereinigung, Produkt und Iteration über die Basismenge schreiben kann. Das Produkt ist (soweit ich weiß) nur für zwei Elemente bzw. Sprachen definiert, also m^n geht zum Beispiel nicht, daher gibt es nicht die Möglichkeit bei L1 gleich viele b's und c's zu garantieren. L2 wird einfach als b^*c^* definiert, m und n sind unabhängig (m,n>=0 nach Definition, wäre es >=1 müsste man bb^*cc^* schreiben, damit garantiert man mindestens ein b und ein c) und ist damit regulär.

Zu 2.) Die Schleife ist direkt am Anfang und ist nur ein Zeichen lang, dann wird entweder ein a gepumpt und das Wort gehört immer noch zu L1 (die a's sind unabhängig von den b's und c's) oder es wird ein b oder c gepumpt (d.h. es ist kein a darin, das wäre am Anfang), dann gehört das Wort zu L2. Das heißt, die Bedingungen vom PPL werden erfüllt, das war die Aufgabe.
Bei AU-1-3 ist bei L6 zum Beispiel die Anzahl der 1en abhängig von der Anzahl der 0en (doppelt so viele), daher funktioniert das dort nicht. Hier ist entweder die Anzahl der a's egal (wenn ein a vorhanden ist L1) oder das Wort gehört zu L2 und dann ist die Anzahl der b's oder c's egal.

Falls noch etwas unklar ist, frage einfach noch einmal.

Viele Grüße

Anne (Tutorin)

Beantwortet: Pumping Lemma

Sun, 09 Jan 2022 11:28:14 +0000

Hallo uqyws,

es reicht hier nicht, nur Fall a) i>1 zu betrachten, da du beim Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen alle möglichen Fälle durchgehen musst. Würdest du nur a) betrachten, könnte es sein, dass es an anderer Stelle funktioniert (in diesem Fall nicht, das wissen wir aber nur durch b)). Mit der Aufteilung a) und b) werden alle Fälle abgedeckt und der Widerspruch gefunden.

Das sieht man auch mit der Definition, bei der Zerteilung des Wortes
z=uvwxy mit |z|>=n
Mit
1. |vwx|<=n,
2. |vx|>=1
muss ja gelten
3. für alle i in |N_0 uv^iwx^iy muss auch in der Sprache liegen, egal wie man es aufteilt.

Beantwortet: Aussage Aufgabe 1 Übungsblatt 3

Sat, 11 Jan 2020 09:16:16 +0000

Hallo uiwvc,

soweit ich das sehen kann, ist Eure Lösung richtig. Die Anmerkung in der Musterlösung ist doch verwirrend, sie gilt nur in dem Fall, wenn ein Übergang (s0,e,k0) bereits existiert. (e≠λ)

Viele Grüße,

Runxi (Tutorin)

Beantwortet: Zustandswechsel

Fri, 10 Jan 2020 10:18:29 +0000

Hallo uyoso,

hier wird nach den ersten beiden Schritten der Lamda Übergang genutzt der definiert wie folgt ist: (s1,Lambda, k0) → (s0, k0). Damit gelangt der Kellerautomat bei einem leeren Keller wieder in den Zustand s0, ohne etwas einzulesen bzw. mit dem Lesekopf einen Schritt weiter nach rechts zu gehen. In Zustand s0 liest der Kellerautomat dann die 0 im Eingabewort ein (bei einem gegenwärtig leeren Keller) und schreibt sie gemäß Überführungsfunktion (s0, 0, k0) → (s1, 0k0) in den Keller.

Ich hoffe das hilft weiter!

Viele Grüße,

Dominik (Tutor)

Beantwortet: Übungsblatt 03 A5 Alternativlösung

Tue, 07 Jan 2020 14:30:47 +0000

Hallo uyjxd und uqysn,

meiner Meinung nach ist die obige Lösung korrekt.

Viele Grüße,

Runxi (Tutorin)

Beantwortet: Pumping Lemma A3 b)

Tue, 18 Dec 2018 23:15:11 +0000

Hallo uvlpj,

Das Vorgehen bei einer PPL Aufgabe ist im Prinzip immer das selbe:

Zunächst suchst du dir ein Word w welche in der gegebenen Sprache liegt. In dem Fall der Aufgabe ist $w=0^n 1^n 0^n 1^n$ und es gilt $w \in L$ zudem gilt offensichtlich $|w| \geq n$.

Als nächstes musst du mit den Bedingungen $|vwx| \leq n$ (1) und $|vx| \geq 0$ arbeiten. Wichtig ist, dass für die Zerlegung vwx keine weiteren Einschränkungen als Bed (1 u 2) gelten, somit kann diese "überall" in deinem vorher gewählten Testwort liegen -> daraus resultieren die zu überprüfenden Fälle.
Die Zerlegung kommt also nicht daher, dass du für n eine Zahl einsetzt (Wie 1 in deinem Fall).

Folgendes Bild zur Verdeutlichung (In der Musterlösung werden nur die ersten 4 Positionen für vwx betrachtet, da die hinteren 3 Wiederholungen der ersten 3 sind, hast du für deise gezeigt, dass das PPL nicht gilt, dann gilt es für die hinteren mit der gleichen Begründung ebenfalls nicht,das ist auch der Grund weshalb in der Lsg nur "der linke Teil" betrachtet wird)

Nun gehst du einfach wie in der Musterlösung beschrieben vor und zeigst für jede Zerlegung, dass das gepumpte Wort nicht in der Sprache liegt (das musst du machen, da du aus dem PPL erst folgern darfst, dass eine Sprache nicht kontetfrei ist, wenn du für jede Zerlegung gezeigt hast, dass das PPL für diese nicht gilt)

Abschließend kann ich dir empfehlen Aufgabe 1 von Tut 3 nochmal genauer anzuschauen, besonders in den PowerPoint Folien dazu (diese sind unter Unterlagen ganz unten) ist das komplette Vorgehen an einer sehr ähnlichen Aufgabe genau beschrieben.

Ich hoffe das hilft dir die Aufgabe zu verstehen.

Gruß

Jannik (Tutor)

Beantwortet: Verständnis A3 b)

Mon, 17 Dec 2018 14:44:21 +0000

Hallo,

bei monoten Grammatiken sind keine verkürzenden Regeln erlaubt. Bei G‘_L sind die Regeln A à λ und T à λ aus diesem Grund nicht erlaubt und müssen ersetzt werden.

Da diese beiden Regeln in den Lösungen der Aufgabe ersetzt werden, muss die Regel S à λ noch hinzugefügt werden. Die Regel Sà λ ist bei monotonen Grammatiken nur dann erlaubt, wenn S auf keiner rechten Seite vorkommt. Diese Regel wird benötigt, da auch das leere Wort in der Sprache L enthalten ist und es somit auch eine Möglichkeit geben muss auf dieses direkt abzuleiten.

Ich hoffe das beantwortet deine Frage.

Viele Grüße,

Verena (Tutor)

Notwendige Zustände

Wed, 27 Jun 2018 09:13:16 +0000

Hallo,

ich hätte eine kurze Frage zur Turingmaschine in Teilaufgabe (a).

Ist der Zustand $s_{L}$ notwendig, um das gewünschte Verhalten der Turingmaschine zu erhalten? Würde nicht schon $\delta (s_{R},\star)=(s_{akz},\star,N)$ ausreichen?

Vielen Dank!!

Beantwortet: Reicht es für das Pumping Lemma nicht aus, zu zeigen, dass es ein w gibt, für das die Bedungungen nicht erfüllt sind?

Wed, 10 Jan 2018 10:46:38 +0000

Hallo,

diese Lösung reicht leider nicht aus. Um zu zeigen, dass eine Sprache nicht kontextfrei ist, müssen wir zeigen, dass für diese Sprache das Pumping-Lemma nicht gilt.

Um das zu zeigen müssen wir ein Wort finden (dieses ist frei wählbar), für das man für ALLE möglichen Zerlegungen dieses Wortes (unter den Bedingungen des PL) eine Pumpvariable findet, sodass das gepumpte Wort nicht mehr in der Sprache liegt.

Also reicht es nicht aus, wenn man eine Partition findet, die das Pumping-Lemma nicht erfüllt, man muss es für alle Partitionen zeigen.

Viele Grüße,

Julia (Tutorin)

Beantwortet: dh typ 1 Sprache muss doch die gleichen Eigenschaften haben, wie die typ 1 Grammatik

Sun, 07 Jan 2018 17:10:14 +0000

Hallo,

"Vllt stehe ich auch auf dem Schlau, aber laut dieser Definition heißt es doch gerade dass eine Sprache vom Typ 1 ist, wenn man eine Typ 1 Grammatik angeben kann, die diese Sprache erzeugt."

Das ist korrekt ja.

Sprachen und Grammatiken sind nicht das gleiche und haben auch nicht die gleichen Eigenschaften. Eine Eigenschaft wie "keine verkürzenden Produktionen erlaubt" wirst du bei sämtlichen Sprachen vergebens suchen.

Vielmehr kann man als Eigenschaft von Sprachen beispielsweise angeben, dass die von G erzeugte Sprache L(G) genau aus den Satzformen besteht, die in beliebig vielen Schritten aus S (Startsymbol der Grammatik G) abgeleitet werden können und nur aus Terminalzeichen bestehen.

Ich hoffe ich konnte dir vom Schlauch runter helfen.

LG Tutor

Beantwortet: ist das nicht das gleiche?

Sat, 06 Jan 2018 13:03:51 +0000

Das ist doch ganz einfach.

Es gilt

$$\lambda \neq vx \neq v^0x^0 = \lambda$$

Beantwortet: Widerspruch $i=0$ und $vx \neq \lambda$?

Sat, 06 Jan 2018 11:50:31 +0000

Hallo,

du hast leider einen kleinen Denkfehler gemacht.

Durch das Pumpen mit i=0 wird zwar vx aus dem Wort gelöscht, aber selbstverständlich nicht die Zeichen in vx. Sprich die zweite Bedingung wird dadurch nicht verletzt und behält ihre Gültigkeit.

Ich hoffe ich konnte dir damit weiterhelfen.

LG Tutor

Beantwortet: Eigenschaften einer Typ 1 Sprache

Sat, 06 Jan 2018 11:40:18 +0000

Hallo,

im Anhang des neuen Lehrbuches (S.383) findest du eine Klassifizierung von Sprachen.

Im allgemeinen gilt für Sprachen, dass sie genau dann kontextsensitiv (Typ-1-Sprache) sind, wenn eine kontextsensitive Grammatik existiert, die diese Sprache erzeugt. Sprich jede kontextsensitive Grammatik erzeugt eine kontextsensitive Sprache und zu jeder kontextsensitiven Sprache kann eine kontextsensitive Grammatik angegeben werden, die diese erzeugt.

Desweiteren repräsentiert die Typ-1-Sprache diejenige Komplexitätsklasse der Sprachen, die auf linear beschränktem Platz von einer nichtdet. Turingmaschine akzeptiert werden können.

Ich hoffe ich konnte dir damit weiterhelfen.

LG Tutor

Beantwortet: Richtung in die ich gehe

Fri, 05 Jan 2018 16:53:33 +0000

Hallo,

selbstverständlich wäre dieser Ansatz auch korrekt, er würde lediglich mehrere Berechnungsschritte brauchen.

LG Tutor

Wieso ist das PPL erfüllt?

Fri, 05 Jan 2018 12:44:07 +0000

Bsp x=lambda y=ab und z= c mit i=2 wäre das Wort nicht in L1 enthalten.

w=xy²z = (ab)²c = ababc nicht Element der Sprache

1) |xy| <= 3 2) |y|>=1 3) für alle i erfüllt =>alles erfüllt

Bei dem PPL muss ja jede mögliche Zerlegung xyz möglich sein.

Warum ist bei TM1 s2 kein endzustand ?

Thu, 04 Jan 2018 19:49:29 +0000

Warum ist s2 kein Endzusstand ?

hat sich geklärt!

Beantwortet: wieso $n^p + n^q$ und nicht $n^{pq}$?

Wed, 03 Jan 2018 09:40:04 +0000

Es muss tatsächlich gelten $h \in O(n^{pq})$. Ihre Argumentation is korrekt, denn $g$ operiert nicht auf $n$, sondern auf $f(n)$, und $f(n)$ kann eine bis zu polynomiell größere Eingabe sein als $n$.

Einen formellen Beweis für den allgemeinen Fall, wenn $f$ und $g$ einer beliebigen Wachstumsklasse angehören, finden Sie hier. Der allgemeine Fall ist sogar noch ein bisschen komplizierter.

Wir werden die Lösung enstprechend anpassen und eine überarbeitete Version hochladen.

Marlon Braun (Übungsleiter)

Beantwortet: (2) Eliminiere reine Umbenennungen

Thu, 02 Feb 2017 14:49:49 +0000

Hi,

da habe ich vorhin nicht genau hingeguckt.

Leider ist die von Ihnen angegebene Regelmenge doch nicht äquivalent, da Sie A ja vollständig abschaffen.
Das führt aber zu Problemen, denn:

Durch Ihre Regelmenge P' kann man das Wort ax + xa erzeugen.
(S -> aSa ->aS+Sa ->ax+SA->ax+ax)

Diese Worte sind jedoch nicht in der Sprache enthalten, die durch die Grammatik mit P erzeugt wird.

Beantwortet: Erklärung PPL (2)

Fri, 27 Jan 2017 12:33:01 +0000

Ich bin nicht sicher, was Sie hier versuchen, denn Sie beziehen sich ja nur auf einen Teil der Sprache $L_1$. Wichtig ist zu verstehen, dass wir hier ausnahmsweise andersherum vorgehen als sonst - wir wollen diesmal wirklich eine Zerlegung finden, sodass die Eigenschaften (1), (2) und (3) gelten. Und nicht - wie normalerweise - zeigen, dass es keine Zerlegung gibt, für die diese Eigenschaften gelten.

In Ihrer Argumentation schreiben Sie, $xy$ könne nur zwei der drei Buchstaben enthalten - dabei sind Sie aber auf der klassischen Schiene mit dem Widerspruchsbeweis. Stattdessen können wir es uns diesmal leicht machen und tatsächlich eine Zerlegung auswählen. Es reicht uns, eine zu finden, wir müssen nicht über alle argumentieren.

Und diese eine legen wir einfach fest durch

$x=\lambda$,
$|y| = 1$,
$z$ = der ganze Rest des Wortes $w$.

$y$ ist also gerade das erste Zeichen des Wortes $w$. Offenbar sind die drei Eigenschaften so erfüllt. Und nun kann es immer noch zwei Fälle geben: Entweder ist $y=a$ oder $y \neq a$. Ist $y=a$, gilt $$w=a^\star b^nc^n \in L_1$$ Pumpen wir nun zu $xy^iz$, verändern wir nur die Anzahl an $a$'s, also bleiben wir in der Sprache (das muss in dieser Beweisrichtung für alle $i$ gelten, hier dürfen wir uns also kein $i$ aussuchen!).

Ist dagegen $y \neq a$, ist das Wort $$w=b^\star c^\star \in L_1$$ Egal, ob es dann überhaupt $b$'s gibt oder nicht, ob also $y=b$ oder $y=c$, die relative Anzahl an $b$'s und $c$'s ist im Fall, dass es keine $a$'s im Wort gibt nicht spezifiziert, also bleibt jedes beliebige $xy^iz$ in der Sprache.

Damit sind wir fertig: Für jedes Wort $w$ ab einer gewissen Größe gibt es eine Zerlegung mit (1), (2) und (3) erfüllt.

Beantwortet: Verständins * auf Arbeitsband

Fri, 27 Jan 2017 10:14:50 +0000

Der steht dort bereits. Stellen Sie sich den Stern als ein ganz normales Bandzeichen vor. Zu Beginn ist das ganze Band von "links unendlich" bis "rechts unendlich" voll mit Sternen, bis auf einen kleinen Bereich in der "Mitte", wo die Eingabe steht. Die mit Stern beschriebenen Felder sind also nur in dem Sinn leer, dass dort ZU BEGINN kein Zeichen der Eingabe steht. Aber sobald die Turingmaschine losläuft, werden Sterne nicht anders behandelt als die übrigen Bandzeichen*, und wenn Sie wollen, können Sie dem Stern auch eine Bedeutung während der Rechnung oder sogar bei der Ausgabe am Ende geben.

* Bis auf die Spezialbehandlung beim Definieren der Bandinschrift: Sterne sind nur dann Teil der Bandinschrift, wenn sie nicht "ganz außerhalb" stehen, also sowohl rechts als auch links von ihnen noch Nicht-Stern-Zeichen oder der Lese-/Schreibkopf stehen. (Sonst wäre die Bandinschrift unendlich lang.)

Beantwortet: Alternativer Lösungsvorschlag

Mon, 16 Jan 2017 10:29:03 +0000

Hallo,

ab einer gewissen Größe und mit so vielen Zuständen wird es unübersichtlich. Deshalb habe ich deinen Automaten in den XWizard eingegeben und geschaut ob es irgendwo zu einem Fehler kommt. Ich habe das Testwort: 001S001 verwendet.
Zu Beginn funktioniert der Automat, jedoch hängt er sich dann auf, weil er in s0 ein K einlesen will, du dafür aber keinen Übergang vorgesehen hast.

Demnach ist der Automat nicht korrekt.
Ich kann dir hier den XWizard als Tool empfehlen, weil man hier schnell seine Lösung validieren kann und auch Sachen ausprobieren kann.

Der entsprechende Quellcode ist hier:

turing:

(s0,0)=>(snull,K,R);

(s0,1)=>(seins,K,R);

(s0,S)=>(s1,S,R);

(snull,0)=>(snull,0,R);

(snull,1)=>(snull,1,R);

(snull,S)=>(sk0,S,R);

(sk0,0)=>(s2,K,L);

(sk0,K)=>(sk0,K,R);

(s2,0)=>(s2,0,L);

(s2,1)=>(s2,1,L);

(s2,S)=>(s2,S,L);

(s2,K)=>(s0,K,R);

(seins,0)=>(seins,1,R);

(seins,1)=>(seins,1,R);

(seins,S)=>(sk1,1,R);

(sk1,1)=>(s2,K,L)

(sk1,K)=>(sk1,K,R)

(s1,*)=>(se,*,N)

(s1,K)=>(s1,K,R)

--declarations--

s0=s0;

F=se;

blank=*;

inputs=001S001;

runStepsScript=120;

shortTrace=false

--declarations-end--

Grüße, Sören

Beantwortet: Monotone und kontextsensitive Grammatiken AU-3-4

Sun, 08 Jan 2017 14:27:30 +0000

$S' \rightarrow ZB$ ist kontextsensitiv, da nur ein Nonterminalsymbol ($S'$) auf eine nicht-leere Menge an Terminal- und/oder Nonterminalsymbolen abgeleitet wird und da der Kontext beibehalten wird. Der Kontext vor und nach $S'$ ist hier lambda.

$S' \rightarrow ZB$ ist monoton,da $|S'| \leq |ZB| \rightarrow 1 \leq 2$.

Alle kontextsensitiven Grammatiken sind auch monoton. Nicht alle monotenen Grammatiken sind kontextsensitiv. Man kann aber zu jeder monoten Grammatik eine kontextsensitive Grammatik finden, die die gleiche Sprache definiert. Monotone und kontextsensitive Grammatiken sind also gleich "mächtig" und charakterisieren deshalb die gleiche Sprachklasse (Typ-1-Sprachen).

Die rechtslinearen Grammatiken sind eine Teilmenge der regulären Grammatiken. Es gibt z.B. noch linkslineare Grammatiken, die auch zu den regulären Grammatiken gehören.
Die rechstlinearen Grammatiken sind aber genau so "mächtig" wie die regulären Grammatiken, sie charakterisieren also die gleiche Sprachklasse (Typ-3-Sprachen).

Viele Grüße

Philipp (Tutor)

Beantwortet: HU-3-2b Fehler in Turingtafel?

Tue, 03 Jan 2017 15:57:37 +0000

Ich kann Ihre Argumentation gerade nicht nachvollziehen (vielleicht bin ich auch nur unkonzentriert), aber das könnte daran liegen, dass ich selbst vor einigen Wochen noch ein paar kleine Fehler in der Aufgabe entdeckt und behoben habe. Das war leider, nachdem die Aufgabe schon ausgegeben worden war. Schauen Sie mal bitte, ob in der aktuellen Version der vermeintliche Fehler noch vorhanden ist oder nicht: Neue Version. (Eventuell müssen Sie die PDF im Browser aktualisieren durch drücken von F5, weil sonst die alte Version aus dem Cache geladen wird.)

Ich habe inzwischen auch einen Link zum XWizard eingefügt: http://www.xwizard.de:8080/Wizz?template=ID-C19279

Dort wird die Abarbeitung eines etwas einfacheren Wortes ($0101$) gezeigt, und das funktioniert jedenfalls.

Beantwortet: Turingmaschinen

Thu, 29 Dec 2016 20:23:25 +0000

Also vorneweg, die Aufgabe HU-3-2 (das ist Aufgabe 5 vom 3. Übungsblatt - Sie sollten möglichst im Forum immer die ID benutzen) gehört zu den allerschwersten Aufgaben, die wir überhaupt in den Übungen stellen. Vor allem vom Umfang her geht das auch weit über das hinaus, was wir in einer Klausur fragen würden! (Sowohl der a)-Teil als auch noch mehr der b)-Teil.) Die Konzepte, die dort verwendet werden, etwa der Binärzähler, sollten Sie aber von der Idee her schon verstanden haben. (Wobei auch der b)-Teil etwas einfacher ohne Binärzähler implementiert werden könnte.)

Ein Tipp bei Aufgaben, wo die Lösung bekannt ist und Sie sie nicht verstehen, ist natürlich, die Übergänge im XWIzard nachzuvollziehen. In diesem Fall wäre das für den b)-Teil dieser Link. Das sieht zunächst etwas unübersichtlich aus, aber beim zweiten Hinsehen erkennt man schnell die unterschiedlichen Programmbereiche, wie sie auch weiter unten in der Lösung erklärt und auch graphisch dargestellt sind. Auf diese Weise versteht man - mit etwas Anstrengung - sehr gut, wie die einzelnen Zustandsübergänge wirken und zu den gewünschten Abläufen entlang dieser Programmbereiche führen. (Am besten laden Sie die PDF herunter, dann können Sie leichter hineinzoomen.)

In diese Richtung geht auch mein zweiter Tipp: Sie sollten sich die Übergangstabelle einer Turingmaschine immer als ein Programm vorstellen. (Im Lehrbuch sprechen wir auch vom "Turingmaschinenprogramm".) Wenn man etwas Übung hat, unterscheidet sich das Programmieren einer Turingmaschine nicht so sehr vom Schreiben eines Java-Programms (oder eines Programms in einer anderen gängigen Programmiersprache). Sie sollten sich zunächst überlegen, welche unterschiedlichen Teilaufgaben das Programm lösen soll und diese dann nacheinander in Zustandsübergänge umsetzen. Wenn wir den einfacheren a)-Teil der von Ihnen angesprochenen Aufgabe betrachten, kann man sagen, dass es drei relativ abgetrennte Bereiche gibt:

Prüfen, ob "das aktuelle" Zeichen in der vorderen Hälfte dasselbe ist wie das entsprechende Zeichen in der hinteren Hälfte.
Das "aktuelle" Zeichen wird dabei durch die Position des rechtesten bisher geschriebenen $K$ bezeichnet. Daher muss während des Prüfens jeweis das abgearbeitete Zeichen vorne und hinten durch $K$ überschrieben werden.
Falls die vordere Hälfte abegearbeitet ist, also keine Nicht-$K$-Zeichen mehr enthält, prüfen, ob auch die hintere Hälfte keine weiteren Zeichen enthält (also wirklich eine "Hälfte" ist und nicht länger).

Diese drei Bereiche müssen durch Turingmaschinenübergänge umgesetzt werden, was aber relativ einfach möglich ist. Einen guten Blick zu entwickeln, welche Aktionen eine Turingmaschine leicht ausführen kann und wie diese Aktionen zu einem bestimmten Zweck eingesetzt werden können, ist der Knackpunkt, und das geht letztendlich nur mit Übung. Die drei gerade beschriebenen Bereiche sind aber ganz typisch und werden in der einen oder anderen Form in vielen unserer Aufgaben verwendet.

Ich würde vorschlagen, Sie versuchen, mit meiner Erklärung das Programm etwas besser zu durchschauen und melden sich nochmal, wenn Sie weiterhin Probleme haben.

Beantwortet: HU-3-3 a) 2)

Thu, 15 Dec 2016 07:16:01 +0000

Nur weil es nicht-kontextfreie Sprachen GIBT, die nicht in Polynomialzeit erkannt werden können (nach heutigem Stand), heißt das ja noch lange nicht, dass das für alle solchen Sprachen gilt.

Wie Sie sagen, der Aufwand ist MAXIMAL $O(2^n)$.

Für $L$ haben wir doch ein paar Aufgaben vorher eine sehr effizient laufende Turingmaschine angegeben. Die Sprache ist also sehr wohl in $P$.

HU-3-3

Thu, 21 Jul 2016 20:49:31 +0000

"Was ändert sich, wenn man annimmt, dass P = NP gilt?

Lösung: Dann wäre (3) auch richtig, denn dann sind alle Probleme in P außer E * und ∅ NP-vollständig (und gleichzeitig in Polynomialzeit lösbar).

Könnte mir jemand erklären was es mit E* und ∅ im Bezug auf NP-vollständige Probleme auf sich hat?

Danke

AU-3-1

Thu, 21 Jul 2016 19:18:27 +0000

Kann ein Kellerautomat diese Sprache nicht verstehen, wenn er

erst jedes a im Keller speichert

für jedes b wieder ein a löscht bis k0 oben im Keller ist,

jedes b ein b im Keller speichert bis c auf dem Eingabeband

für jedes c ein b löscht b

sobald k0 oben im keller ist, in einen Endzustand übergeht?

Wenn ein Kellerautomat diese Sprache akzeptiert, müsste sie doch kontextfrei sein oder?

Beantwortet: Verständnis

Tue, 09 Feb 2016 08:51:44 +0000

Es geht bei der Komplexität von Sprachen immer um das Wortproblem, also die Frage, ob ein Wort in der Sprache ist oder nicht. Man kann nun für kontextfreie Sprachen entweder über Grammatiken argumentieren oder über Kellerautomaten. Bei Grammatiken gibt es Algorithmen (bspw. den nicht mehr prüfungsrelevanten CYK-Parser), die für ein gegebenes Wort $w$ und eine gegebene kontextfreie Grammatik $G$ in Laufzeit $O(n^3)$ feststellen, ob $w \in L(G)$, und damit das Wortproblem lösen.

Auf der Automatenseite kann ein nichtdeterministischer Kellerautomat $K$ in Lienarzeit ausgeben, ob $w \in L(K)$. Das sagt zunächst noch nichts aus, denn Nichtdeterminismus ist in $P$ ja nicht erlaubt - aber man kann jeden nichtdeterministischen Kellerautomaten in Laufzeit $O(n^3)$ deterministisch simulieren.

Über beide Wege haben wir also einen deterministischen Pol-Zeit-Algorithmus, der das Wortproblem löst, und damit liegen (etwas salopp formuliert) "kontextfreie Sprachen in $P$".

Typ-1-Sprachen sind $PSPACE$-vollständig, wie man über eine entsprechende Reduktion zeigen kann (das müssen Sie aber nicht können, merken Sie es sich einfach).

Typ-0-Sprachen sind nicht entscheidbar. Das wiederum sollte klar sein, da innerhalb der Typ-0-Sprachen auch solche schlimmen Probleme liegen wie das Halteproblem. Da das keine Turingmaschine entscheiden kann, wie wir aus der Vorlesung wissen, ist also das Wortproblem für Typ-0-Sprachen i.A. nicht entscheidbar.

Vielleicht können Sie nach diesen Hinweisen selber überlegen, welche Laufzeit das Wortproblem für Typ-3-Sprachen im schlimmsten Fall hat? (Am besten hier die Antwort posten!)

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Verständnis

Sun, 07 Feb 2016 18:51:43 +0000

Hallo,

du kannst dann eine Turingmaschine schreiben die die komplette Bandinschrift um 1 Stelle nach rechts rückt, weil niemand hat etwas davon gesagt dass man nicht über den rechten Rand rausschreiben darf ;)

Viele Grüße,

Marc (Tutor)

Beantwortet: BX-> BAX

Sun, 07 Feb 2016 12:16:19 +0000

Weil je nach Sichtweise entweder $B$ im Kontext von $X$ durch $BA$ ersetzt wird (vorderer Teil des Kontexts ist in idesem Fall leer) oder $X$ im Kontext von $B$ durch $AX$ (hinterer Teil in diesem Fall leer).

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: PPL Erklärung

Sat, 09 Jan 2016 17:10:41 +0000

Hallo uzdoa,

Anhand des Bildes (Beispielaufgabe und Lösung) wird das PPL für regläre Sprachen vllt. etwas deutlicher.

Wichtig ist, dass sich der Abschnitt "Daraus folgt" tatsächlich aus den Forderungen (obendrüber) ergibt. Mit etwas formalem Verständnis, sollte das dann nachvollziehbar sein.

Da $ x = 0^{j-k} $ , $ y = 0^k $ und $ z = 0^{n-j} 1^{2n} $ (durch obige Anforderungen) ergeben sich für $ i = 2 $ die letzen beiden Abschnitte.

Da $x y^2 z $ nicht Teil der Sprache $ L_6 $ ist, aber von einem EA, der $ L_6 $ verarbeiten sollte erkannt würde, kann $ L_6 $ nicht von einem EA akzeptiert werden.

Viel Erfolg,

Marvin (Tutor)

Beantwortet: Tutorium 3, HU-3-4

Sat, 09 Jan 2016 00:18:39 +0000

Hallo uzdoa,

jede von einem endlichen Automaten ("genügend lange") erkannte Sprache (da sie von einem EA erkannt wird: reguläre Sprache) besitzt irgendwo eine Pumpstelle (z.B. ein Automat, der folgende Sprache erkennt: $ L_{bsp} = \{ w = (01)^k | k \in \mathbb{N} \} $. Hier kann $ 01 $ beliebig oft gepumpt werden).

Besitzt eine (solche, genügend lange) Sprache nun keine solche Pumpstelle (durch das Pumping Lemma zu zeigen, das PPL ist dann nicht erfuellt) kann es keinen EA geben, der die Sprache erkennt und die Sprache ist nicht regulär.

Beachte: Das PPL gilt nur in diese Richtung, nicht umgekehrt. Das Vorhandensein einer Pumpstelle bedeutet also nicht, dass die Sprache durch einen EA erkannt werden kann.

Hoffe , das konnte zum Verständnis beitragen,

Marvin (Tutor)

Beantwortet: Können Sie bitte das Übungsblatt für diese Woche hochladen?

Tue, 01 Dec 2015 09:38:28 +0000

Hallo,

doch, das Aufgabenblatt ist inzwischen (seit gestern) vorhanden, siehe hier:

http://info2.aifb.kit.edu/secure/Aufgabenblaetter/Anwesenheitsuebungsblatt_3.pdf#AU-3-1

Ich gebe allerdings zu, dass ich es am Freitag vergessen hatte - Entschuldigung!

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Warum ist SAT nicht in polynomieller Zeit lösbar?

Tue, 22 Sep 2015 09:24:15 +0000

Dazu noch ein kurzer Nachtrag (alles, was Tobias schreibt, ist aber korrekt):

Wenn wir nur von Polynomialzeit (oder einer sonstigen Zeit-/Platzklasse) sprechen, ohne "deterministisch" oder "nichtdeterministisch" anzugeben, ist immer deterministisch gemeint. Wie Tobias erklärt hat, können wir nichtdeterministische Maschinen nicht bauen, und es bringt uns daher keinen praktischen Nutzen, wenn wir einen nichtdeterministischen Polynomialzeitalgorithmus für ein Problem kennen. Nichtdeterminismus ist nur von theoretischem Interesse, um Verhältnisse zwischen Problemklassen angeben und gewisse Beweise führen zu können. Quantencomputer sind übrigens auch nicht nichtdeterministisch, und es kann nichtdeterministische Rechner in diesem Sinne in der realen Welt gar nicht geben.

Viele Grüße

Lukas König, Friederike Pfeiffer-Bohnen und Micaela Wünsche

Beantwortet: Was für ein Automat soll denn Wörter aus L in polynomialzeit überprüfen?

Tue, 22 Sep 2015 09:22:46 +0000

Man kann ausnutzen, dass alle Wörter von L kein Wort von L_quer sind (und umgekehrt). Um zu prüfen, ob ein Wort in L liegt, muss man also nur feststellen, ob es kein Wort von L_quer ist (via CYK-Algorithmus in O(n^3).

Nur weil ein Problem allgemein sehr schwer zu lösen ist, heißt das nicht, dass es auch für (speziellere) Teilprobleme gilt (siehe z.B. DNF-SAT vs allgemeines SAT)

Gruß,

Tobias (Tutor)

Beantwortet: Welchen Sinn hat die Aufteilung in N0, N1, E0, E1 der Non-Terminalzeichen?

Tue, 22 Sep 2015 09:18:04 +0000

Hallo,

ich probiere Dir den Gedankengang der Produktionsregeln mal zu verdeutlichen. Vielleicht wird der Sinn dann klarer.

Also zuerst enthält die zweimal dieselbe Anordnung von Zeichen also kann man w folgendermaßen aufteilen: w = xx.

Der erste Teil wird dabei direkt aus A erzeugt und wird auch anschließend nicht mehr verändert.

Hier ein kleines Beispiel:

AT -> 0ANT -> 00ANNT -> 001AENNT -> 0011AEENNT

Wenn der erste Teil, also x, vollständig erzeugt wurde, wird das A "herausgelöscht" Man erhält somit 0011EENNT.

Nun fällt auf, dass sich die hinteren Nonterminalsymbole noch in der falschen Reihenfolge befinden. Denn das Wort der Sprache, zu dem wir gelangen wollen, lautet 00110011.

Der nächste Schritt ist somit, dass wir das letzte Nonterminalsymbol (T ausgenommen) durch ein Terminalsymbol ersetzen. Anschließend bleibt uns laut den Produktionsregeln nichts anderes übrig als die erzeugte 0 mindestens einmal nach links durchlaufen zu lassen (0011EE0NT). Ab dann sind zwei grundsätzliche Produktionen möglich (Variationen gehen natürlich auch):

0011EE0NT -> 0011EE00T -> 0011E0E0T -> 0011E00ET -> 0011E001T -> 00110E01T -> 001100E1T -> 0011001ET -> 00110011T -> 00110011

oder

0011E0ENT -> 00110EENT -> 00110EE0T -> 00110E0ET -> 001100EET -> 001100E1T -> 0011001ET -> 00110011T -> 00110011

Abschließend wird dieser ganze Aufwand betrieben, um einfach abzusichern, dass im zweiten Teil die Reihenfolge wie benötigt umgedreht wird.

Sollte dies Deine Frage nicht beantwortet haben, konkretisiere sie bitte erneut.

Viele Grüße

Christoph (Tutor)

Beantwortet: darf eine kontextsensitive Grammatik Produktionen der Form N0 -> 0N haben?

Tue, 22 Sep 2015 09:16:45 +0000

Nein, solch eine Produktion ist in einer kontextsentitiven Grammatik nicht erlaubt. Allerdings existiert zu jeder monotone Grammatik eine äquivalente kontextsentive Grammatik (Kap.4 , Folie 2). Ein Beispiel (Produktion: Fb -> bF) für solch eine Umwandlung wird auf den beiden nachfolgenden Folien (Kap. 4, Folien 3 und 4) gezeigt.

Gruß,

Tobias (Tutor)

Beantwortet: c): Wie kommt man von uvwxy auf die 3 Bedingungen ?

Tue, 22 Sep 2015 09:15:12 +0000

Es gibt zwei verschiedene Pumping-Lemmas. Das sollten Sie sich bis zur Klausur aber dringend gründlich ansehen, wenn Sie es bis jetzt noch nicht verstanden haben!

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: b): Warum ist die Sprache vom Typ 1?

Tue, 22 Sep 2015 09:14:00 +0000

Hallo,

nur weil die GRAMMATIK nicht vom Typ 1 ist, heißt das ja nicht, dass die SPRACHE, die von der Grammatik erzeugt wird, auch nicht vom Typ 1 sein kann.

Viele Grüße

Lukas König und Friederike Pfeiffer-Bohnen

Beantwortet: d): Wenn PPL für kontextfreie Sprachen nicht gilt -> PPL gilt für reguläre Sprachen auch nicht?

Tue, 22 Sep 2015 09:09:44 +0000

Hallo Luisa,

dein Gefühl ist richtig. Es gelten folgende Beziehungen:

L(regulär) $ \subseteqq $ L(kontextfrei)

Alles, was nun für die Obermenge gilt (Kontextfreie Sprachen), gilt folglich auch für die Untermenge (reguläre Sprachen). Somit gilt auch, dass wenn das PPL für die kontextfreien Sprachen gilt (d.h. L ist nicht vom Typ 2), dass diese Aussage dann auch für die regulären Sprachen gilt (d.h. L ist auch nicht vom Typ 3)

Der Hinweis bewahrt dich lediglich vor dem vergeblichen Versuch, das PPL für reguläre Sprachen anzuwenden, da es hier anscheinend nicht zum Erfolg führen wird.

Ich hoffe, das hilft dir weiter. Viele Grüße

Philip (Tutor)

Beantwortet: Genaue Erklärung der Grammatikregeln ?

Tue, 22 Sep 2015 09:08:03 +0000

Wie Lukas schon richtig geschrieben hat, besteht die Sprache L einfach aus Wörter, die aus zwei exakt gleichen Teilen bestehen, die einfach hintereinander geschrieben werden, also xx.

Die Regeln für die Grammatik L, also Teilaufgabe b erzeugt für jede 0, die erzeugt wird, auch parallel ein N. Für die 1 wird parallel ein E erzeugt. Würde man die N und E direkt ersetzten, also jeweils aus einem A => 0A0 bzw. 1A1 erzeugen, dann hätten Sie ein Palindrom gebildet, also xx'. Dies möchten Sie aber nicht, also müssen Sie erst noch Umsortieren. Ihre Ableitung sieht jetzt zum Beispiel so aus: 111000ANNNEEET. Nun ersetzen Sie das letzte E mit ET => 1T und reichen die 1 von hinten nach vorne durch, bis sie das A erreicht haben. Dann nehmen Sie das nächste E und verfahren genauso. Das geht so lange, bis alle Es und As ersetzt sind und Sie nur noch A und T durch lambda ersetzten müssen.

Ich hoffe, dass das jetzt so klarer ist.

Viele Grüße

Friederike Pfeiffer-Bohnen und Lukas König

Beantwortet: c): i für jede denkbare Zerlegung z ?

Tue, 22 Sep 2015 09:07:38 +0000

Hallo,

das PPL besagt, dass jedes Wort (größer gleich der PPL-Konstante k) aus einer kontextfreien Sprache eine Zerlegung besitzt, die die 3 Bedingungen erfüllt

Im Umkehrschluss bedeutet das, dass das PPL nur dann nicht erfüllt ist (also das Wort nicht aus einer kontextfreien Sprache ist), wenn ein solches Wort mit keiner Zerlegung die Bedingungen erfüllt. Deshalb müssen alle Zerlegungen überpürft werden, was am einfachsten durch die Bildung von Fällen geschieht.

Viele Grüße

Philippe (Tutor)

Beantwortet: a): Hiermit können Wörter aus L' erzeugt werden ?

Tue, 22 Sep 2015 09:04:18 +0000

Sie haben natürlich recht, das muss L' heißen, sonst macht das keinen Sinn. Danke für den Hinweis hierfür. Wir werden das ändern.

Viele Grüße

Friederike Pfeiffer-Bohnen und Lukas König

Beantwortet: b): Warum ist S -> λ nicht kontextsensitiv ?

Tue, 22 Sep 2015 07:07:19 +0000

Hallo,

zunächst einmal, die Aufgabe war eine Klausuraufgabe, und wir haben damals Ihren Lösungsvorschlag auch gelten lassen.

Es ist so, dass eine kontextsensitive bzw. monotone GRAMMATIK die Regel $ S \rightarrow \lambda $ enthalten darf, wenn S auf keiner rechten Seite vorkommt. Das ist aber eine Ausnahme, die eingeführt wird, damit man das leere Wort mit Typ1-Grammatiken bilden kann. $ S \rightarrow \lambda $ für sich alleine gesehen ist sicher keine kontextsensitive bzw. monotone REGEL, da die wichtige Eigenschaft solcher Regeln ist, dass sie nicht zu einer verkürzenden Ableitung führen dürfen ($ S \rightarrow \lambda $ bedeutet, dass wir das Symbol S verschwinden lassen, also das abgeleitet Wort um ein Zeichen verkürzen).

Wir wollten hier darauf hinaus, dass Sie die Regeln einzeln betrachten, nicht die Grammatik ansich, daher auch der Zusatz: "Betrachten Sie die einzelnen Regeln hierbei unabhängig voneinander."

Aber alles in allem ist es uns am allerliebsten, wenn Sie den Stoff soweit verstanden haben, dass Sie unsere Lösung konstruktiv infrage Stellen können. Wie gesagt, falsch wäre Ihre Lösung auch nicht gewesen.

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Beispiel zur Zusammenfassung von Regeln

Tue, 22 Sep 2015 07:03:00 +0000

Bei deinem zweiten Beispiel hat man nach dem Ersetzen

$ S \rightarrow aAb|ab $

$ A \rightarrow aAb|ab $

man sieht, das man aus S und A genau das gleiche ableiten kann, daher kann man A und S zu einem Nonterminalsymbol zusammenfassen (hier zu S) und die Grammatik dadurch vereinfachen:

$ S \rightarrow aSb|ab $

Ich persönlich glaube nicht, in der Klausur Punkte abgezogen würden, wenn man diese Vereinfachung nicht macht (das ist keine verbindliche Aussage).

Bei der Aufgabe AU-3-4 unterscheiden die Produktionen sich:

aus S kann man zusätzlich A-S ableiten, daher kann A und S nicht zu einem Nonterminal zusammenfassen.

Kurz gesagt, wenn du dir nicht sicher bist, dann mach nur die Ersetzung und keine Vereinfachungen. Die Vereinfachung ist soweit ich sehe nicht notwendig, um auf eine CNF zu kommen.

Gruß,

Tobias (Tutor)

Beantwortet: Zusammenfassen der Regeln möglich?

Tue, 22 Sep 2015 06:59:37 +0000

Zunächst: ich kann nicht nachvollziehen, wie du auf $x|aSa|bSb$ kommst. Ersetzen von $S\rightarrow A$ mit den Produktionen, bei denen $A$ links steht, führt auf $ S\rightarrow x|aAa|bAb$ . Was hast du noch gemacht?

Kannst du eine Aufgabe nennen, in der die Zeile gelöscht wird? Ohne eine solche Aufgabe gesehen zu haben, vermute ich, dass dort das Zeichen, das in der gelöschten Produktion links stand, auf keiner rechten Seite mehr vorkam und die betroffene Produktion daher überflüssig geworden ist.

Bei dieser Aufgabe darfst du $A \rightarrow $ ... nicht löschen, da du sonst das $A$, das z.B. bei der Anwendung von $S\rightarrow S-A$ entsteht, nicht in Terminalsymbole umwandelnt kannst!

Gruß,

Tobias (Tutor)

Beantwortet: Wie wird eine Grammatik λ- frei?

Tue, 22 Sep 2015 06:54:18 +0000

Hallo,

in den Vorlesungsunterlagen gibt es dazu eine etwas technische Beschreibung (VL 3 Folie 14).

Ich habe versucht das verbal noch ein wenig zu umschreiben, aber am besten schaust du dir das jeweils in Verbindung mit dem Algorithmus an.

Im grunde steht dort:

- zuerst ermittle alle Nonterminalsymbole, die auf λ abbilden und sammle diese in einer Menge U

- dann suchst du iterativ nach Nonterminalsymbole, die auf die Nonterminalsymbole aus deiner Menge U abbilden und nimmst sie ebenfalls in U auf. (Tu das bis U sich nicht mehr ändert)

-jetzt ist die Menge U also mit lauter Nonterminalsymbolen voll, die in beliebig vielen Schritten auf λ abbilden

Nun konstruiertst du deine neue Grammatik:

-ausgehend von der ursprünglichen Abbildungsregelmenge P fügst du für alle Regeln mit einem Symbol aus U auf der rechten Seite die gleiche Regel ohne jenes Symbol aus U ein (du lässt also nur den Kontext stehen- so sparst du dir den weg über viele umformungen und könntest das gleich mit λ ersetzen)

-schließlich löscht du alle Regeln die direkt auf λ verweisen

liebe Grüße

Bastian (Tutor)

Beantwortet: Warum gilt Bedingung nicht auch bei i>=1 ?

Tue, 22 Sep 2015 06:37:55 +0000

Hallo,

zu deiner ersten Frage:

Das Wort aabbc ist schon bevor du als Pumpvariable 1 angenommen hast schon nicht Teil der Sprache, deshalb kann es auch nicht für den Beweis verwendet werden. Wenn für $i=1$ gewählt wird, wird das ursprüngliche Wort betrachtet. Deshalb muss $i>1$ sein.

zu deiner zweiten Frage:

w und y können in diesem Fall b's oder c's sein.

Grundsätzlich muss man sagen, dass u,v,w,x und y nicht nur mit einem Buchstaben belegt werden können, sondern mit einer beliebigen Kombination. So ist beispielsweise auch folgende Partition möglich:

$aabbcc=uvwxy$, mit $u=aa, v=b, w=b x=c$ und $y=c$. Wählt man in diesem Fall jetzt als Pumpvariable 0, so kommt man auf dieses Wort. aabc, welches nicht Element der Sprache ist, da mehr a's als b's und c's vorhanden sind.

Viele Grüße,

Sebastian (Tutor)