Warum gilt Bedingung nicht auch bei i>=1 ?

Question

"enthält vx ein a, so enthält es kein c. Für ein \(i > 1\) enthält jedes \( uv^{i}wx^{i}y \) weniger c’s als a’s oder b’s." steht in der Lösung.

Warum muss \(i > 1\) und nicht \( i \geq1\) sein?

Wenn ich \(i =1\) setze, und definiere, dass vx ein a enthält, ist das Wort \(u=a, v=a, w=b, x=b\) und \(y=c\) (also aabbc) nicht in L enthalten, da die Anzahl der c's < Anzahl der b's ist.

 "enthält vx kein a, so enthält es mindestens ein b oder c. Für \(i = 0\) enthält uwy also mehr a’s als b’s oder c’s."

Warum folgt hier nicht daraus, dass vx kein a enthält, dass dann w und y, die nach v in der Reihenfolge sind automatisch b oder c sein müssen, auch wenn \(i=0\) gilt?

Answer 1

Hallo,

zu deiner ersten Frage:

Das Wort aabbc ist schon bevor du als Pumpvariable 1 angenommen hast schon nicht Teil der Sprache, deshalb kann es auch nicht für den Beweis verwendet werden. Wenn für \(i=1\) gewählt wird, wird das ursprüngliche Wort betrachtet. Deshalb muss \(i>1\) sein.

zu deiner zweiten Frage:

w und y können in diesem Fall b's oder c's sein. 

Grundsätzlich muss man sagen, dass u,v,w,x und y nicht nur mit einem Buchstaben belegt werden können, sondern mit einer beliebigen Kombination. So ist beispielsweise auch folgende Partition möglich:

\(aabbcc=uvwxy\), mit \(u=aa, v=b, w=b x=c\) und \(y=c\). Wählt man in diesem Fall jetzt als Pumpvariable 0, so kommt man auf dieses Wort. aabc, welches nicht Element der Sprache ist, da mehr a's als b's und c's vorhanden sind. 

Viele Grüße,

Sebastian (Tutor)