Theoretische und technische Informatik - ganz praktisch - Letzte Fragen & Antworten in Berechenbarkeits- und Komplexitätstheorie

Beantwortet: Ist es bei abzählbaren Mengen auch eine berechenbare Funktion oder nur irgendeine Funktion?

Sat, 22 Jan 2022 15:48:01 +0000

Ja, so habe ich es auch verstanden. Eben die Injektivität bei der abzählbaren Menge.

Bei aufzählbaren Mengen braucht man auf jeden Fall eine berechenbare Funktion. Bei abzählbar glaube ich nicht unbedingt

Beantwortet: Sprache welche albzählbar aber nicht aufzählbar ist?

Tue, 11 Jan 2022 09:14:25 +0000

Hallo upmtz,

auch bei aufzählbaren Sprachen gibt es den Algorithmus

GdInfoII 5-12 ist die Definition von aufzählbaren Sprachen M *Teilmenge* E* heißt (rekursiv) aufzählbar genau dann, wenn es gibt eine surjektive, berechenbare Funktion f : IN_0 -> M gibt.

M heißt abzählbar gdw M injektiv in IN abbildbar ist. (GdInfoII 5-7)

Der unterschied ist also, dass es bei abzählbaren Sprachen auch injektiv ist (insgesamt also bijektiv) und bei aufzählbaren Sprachen nur surjektiv

Beantwortet: erklarung

Sun, 02 Jan 2022 10:39:08 +0000

Hallo uqyxt,

A ist NP-vollständig, also liegt es sowohl in NP-schwer, als auch in NP.

Ein Problem ist NP-schwer, falls alle Probleme aus NP darauf polynomialzeitreduzierbar ist.

Da A auch ein Problem aus NP und C NP-schwer ist, gilt daher dass A polynomialzeitreduzierbar auf C ist.

Ich hoffe, das hat dir weitergeholfen.

Grüße
Jahn (Tutor)

nicht entscheidbar

Sun, 04 Jul 2021 09:13:16 +0000

Was kann ich sagen über nicht entscheidbar?Und wo liegt es in Komplexitat Tabelle?

Beantwortet: Knoten im Kopf bzgl. Entscheidbarkeit

Tue, 11 Feb 2020 21:34:59 +0000

Hi,

ich glaube du schmeißt da zwei Sachen in einen Topf, die nicht zusammen gehören, bzw. die nicht wirklich was miteinander zu tun haben.

Wenn du ein Intervall hast, schaust du dir zwei seperate Grenzen, die eindeutig bestimmbar sind. Durch den angesprochenenen Algorithmus, kannst du nun entscheiden, ob die reele Zahl darin liegt oder nicht. In diesem Schritt musst du allerdings nichts abzählen, aufzählen oder sonstiges, sondern nur ein Vergleich tätigen. Das hat dann ja im Kern nichts mit der Art der Menge im Intervall zu tun, da diese dafür unerheblich ist (außer natürlich diese unterscheidet sich von der Zahlenart der reelen Zahl). Es ist ja egal ob, das jetzt ein natürliches Intervall, rationales Intervall oder sontiges ist, der Vergleich bleibt im Prinzip gleich.

Du hast in dieser Unterscheidung auch keine Menge die abzählbar/aufzählbar/überabzählbar ist, sondern eine ja/nein Antwort, die nicht in direktem Kontext mit dem Zahlenintervall steht, sondern sich nur als eine Folgerung daraus ergibt.

Hoffe ich konnte meine Gedanken dazu rüberbringen, wobei ich auch nicht weiß, ob ich da richtig bin. Kann gerne berichtigt werden,

Gruß

Beantwortet: Berechenbarkeit Folie GdI2 V13-68 (Seite 68)

Mon, 10 Feb 2020 08:02:57 +0000

Liebe Studierende, diese Zeile ist von einem Beispiel aus letztem Jahr übrig geblieben und hätte gelöscht werden sollen. Sie kann übersprungen werden. Viele Grüße

Tatiana von Landesberger

Beantwortet: Frage zur Notation Definition Halteproblem

Mon, 10 Feb 2020 07:37:51 +0000

Liebe Studierende,

ja, es handelt sich um ein Tupel. Es sind nur andere Klammern in der Notation verwendet worden. Diese Klammern werden in Mathematik auch verwendet.

Viele Grüße

Tatiana von Landesberger

Beantwortet: Beispiel abzählbare, nicht aufzählbare Menge

Mon, 10 Feb 2020 07:25:59 +0000

Aufzählbar, wäre (solang du kein Mädchen bist ;) ) die Menge an Schuhen, die du besitzt, da du diese wort wörtlich aufzählen kannst.

Abzählbar umfasst auch größere Mengen, wie die Natürlichen Zahlen, die du zwar alle benennen kannst jedoch aufgrund deiner beschränkten Lebenszeit nicht aufzählen kannst.

LG, Nico (Tutor) (Alle Angaben ohne Gewähr)

Beantwortet: Halteproblem - Beweis

Sun, 09 Feb 2020 12:09:42 +0000

Das ist ein Beweis durch Gegenspruch... man behauptet es gäbe eine TM, die hält, da diese (allgemeine) jedoch nicht hält haben wir bewiesen, dass das Halteproblem nicht lösbar ist.

LG, Nico (Tutor) (Alle Angaben ohne Gewähr)

Beantwortet: Definition Halteproblem

Tue, 04 Feb 2020 20:13:06 +0000

Richtig, hierbei handelt es sich einfach um einTupel.

LG, Nico (Tutor) (Alle Angaben ohne Gewähr)

Beantwortet: Klausurrelevanz Komplexitätsklassen

Mon, 03 Feb 2020 14:39:30 +0000

- Relevant ist das Thema “Berechenbarkeit” aus dem Lehrbuch. Siehe Vorlesungsfolien: inklusive Berechnenbarer Funktionen, semi/nicht berechenbarer/entscheidbarer Sprachklassen, und Mengen

Komplexitätsklassen/Komplexitätstheorie ist soweit relevant wie die Übersichtstabellen zu Chomsky Hierarchie bzw Vorlesungsstoffübersichtstabellen zeigen

Liebe Grüße,

Nico (Tutor) (Alle Angaben ohne Gewähr) (Antwort basiert auf Antwort der Professorin)

Beantwortet: Sind in semientscheidbaren Problemen auch unentscheidbare Probleme enthalten?

Sun, 10 Feb 2019 09:56:06 +0000

Hallo,

bei semi-entscheidbaren Problem erhält man für eine richtige Eingabe, das Ergebnis true. Nur bei einer falschen Eingabe kann das Programm unendlich weiterlaufen oder false zurückgeben. (Kapitel 5 Folie 17)

Bei einer richtigen Eingabe würde eine Turingmaschine stoppen. Dadurch kann ein semi-entscheidbares Problem von einem unentscheidbaren Problem unterschieden werden.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Viele Grüße,

Verena (Tutorin)

Beantwortet: Warum sind abzählbare, aber nicht aufzählbare Mengen nicht entscheidbar?

Sun, 10 Feb 2019 09:10:00 +0000

Hallo,

ja, so wie ich das sehe passt deine Erklärung.
Ich glaube das liegt daran, das man keine surjektive, berechenbare Funktion hat. Also kann man für bestimmte Elemente aus der Menge M nicht sagen, ob es einen Algorithmus gibt, der sich wie dieses Element verhält (mit fI. Also gibt es keine berechenbare Funktion und deshalb kann man nicht entscheiden, ob dieses Element jetzt dazu gehört oder nicht.

Aber das ist nur für das intuitive Verständnis. In der Klausur solltest du bei einer solchen Frage auf die Definition hinweisen.

Viele Grüße
Anne (Tutor)

Beantwortet: Aufzählbare Mengen können nicht unendlich sein?

Sun, 10 Feb 2019 08:42:59 +0000

Hallo uuuwm,

Ja, abzählbare Mengen können unendlich viele Elemente haben, da die natürlichen Zahlen auch unendlich sind.

Wenn ich die Definition richtig verstehe gibt es auch aufzählbare Mengen, die unendlich viele Elemente besitzten.
Ein kleines Beispiel: M ist Teilmenge aus E*={a}. Also ist M={lambda, a, aa, aaa, ...). Dann ist M (abzählbar und) mit f(i) = a^i hat man eine berechenbare Funktion. Und es gilt für alle a^j = f(j), also ist die Funktion surjektiv, aber M hat unendlich viele Elemente.
Jeweils i und j aus den natürlichen Zahlen mit der 0.

Wenn dich das Thema interessiert kannst du bestimmt auch den Prof mal fragen.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen

Viele Grüße
Anne (Tutor)

Entscheidbarkeit, Semientscheidbarkeit und Nichtentscheidbarkeit

Sun, 10 Feb 2019 08:37:56 +0000

Ist folgende Überlegung richtig? Wenn nein, wie wäre die richtige Beschreibung?

Nicht entscheidbare Probleme sind alle nicht aufzählbaren Probleme (also die abzählbaren und überabzählbaren Probleme) und die Probleme, die semientscheidbar sind, und nicht halten (also nie halten werden, wir nehmen einfach mal an wir wissen, dass die TM dafür nie hält). Damit wären die entscheidbaren Probleme eine Teilmenge der semientscheidbaren Probleme. Diejenigen aufzählbaren Probleme, über die wir „noch keine Information“ bekommen haben, also für die wir noch keine Antwort bekommen haben, sind damit sozusagen eine Zwischenstufe zwischen entscheidbar und unentscheidbar, oder? Hier noch eine Zeichnung dazu:

Beantwortet: Entscheidbar und NP-Schwer Polynomialreduzierbarkeit

Thu, 07 Feb 2019 11:14:37 +0000

*Falsch - richtige Antwort in Kommentwar weiter unten*

Hallo uscyc,

Grundsätzlich gilt per Definition: Ein Problem X heißt NP-schwer, genau dann wenn jedes Problem Q aus NP polynomialzeitreduzierbar auf X ist.

Wenn jetzt also dein E entscheidbar ist, behinhaltet diese Menge auch die Menge NP. Wenn du gegeben hast, dass C NP-schwer ist, und sich E auf C reduzieren lässt, weißt du, dass E in NP sein muss (laut Definition). Es geht hier nicht nur um "leichte" und "schwere" Probleme, sondern um genaue Klassen.

Falls ich deine Frage nicht genau beantwortet habe, kannst du dich gerne noch einmal melden.

Viele Grüße

Hannah (Tutorin)

Beantwortet: dies ist ein test

Tue, 02 Oct 2018 13:56:05 +0000

@[turing:
/* Sorting: */
(s0, *) => (se, *, L); (s0, a) => (s0, a, R); (s0, b) => (s1, B, R);
(s1, *) => (s2, *, L); (s1, a) => (s1, a, R); (s1, b) => (s1, b, R);
(s2, B) => (se, b, L); (s2, a) => (s3, b, L); (s2, b) => (s2, b, L);
(s3, B) => (s0, a, R); (s3, a) => (s3, a, L); (s3, b) => (s3, b, L);
(se, *) => (see, *, R); (se, a) => (se, a, L);
--declarations--
s0=s0;
F=see;
blank=*;
inputs=abbbab,a,*;
runStepsScript=100;
shortTrace=false
--declarations-end--]@

Beantwortet: C nicht in Polynomialzeit lösbar ?

Wed, 07 Feb 2018 12:45:11 +0000

Hallo,

wie du richtig erkannt hast, heißt NP-schwer, dass es mindestens so schwer ist wie die schwersten Probleme in NP, muss aber selbst nicht in NP liegen (kann also auch schwerer ("komplexer")) sein - somit wissen wir rein gar nichts über die Lösbarkeit von C, außer dass es ein mindestens so komplexes Problem sein muss wie die schwersten Probleme in NP und somit ist auch nicht gegeben, dass C überhaupt in Polynomialzeit lösbar ist.

Viele Grüße

You-Ri (Tutorin)

Beantwortet: Reduzierbarkeit

Mon, 08 Jan 2018 14:30:27 +0000

Hey,

zu deinem ersten Punkt: ein NP-vollständiges Problem kann, wie du schon gesagt hast, auf ein anderes NP-vollständiges Problem reduziert werden, da beide ja NP-schwer sind und gleichzeitig in NP liegen. (NP-schwer: jedes Problem aus NP ist reduzierbar auf ein NP-schweres Problem).

Allerdings kannst du kein NP-vollständiges Problem auf ein Problem der Klasse P reduzieren, da man kein schwereres Problem auf ein einfacheres reduzieren kann (die Annahme P=NP geht nicht, da dies noch ein offenes Problem ist).

Zu deinem zwiten Punkt: das geht dann nur in der anderen Richtung. Du kannst ein beliebiges Problem aus der Klasse NP auf ein NP-vollständiges Problem reduzieren, da dein NP-vollständiges Problem eben insbesondere auch NP-schwer ist.

Die Merkregel zusammen mit dem Diagramm der Komplexitätsklassen dürfte hierbei sehr hilfreich sein: Wenn sich A in pol. Zeit auf B reduzieren lässt, kann A "höchstens so schwer" sein wie B.

Hoffe ich konnte deine Frage beantworten.

Viele Grüße und viel Erfolg,

Marius (Tutor)

Beantwortet: Reduzierbarkeit

Sun, 07 Jan 2018 11:10:22 +0000

Hallo,

das kommt ganz darauf an, ob dein "NP Problem" auch NP-schwer und damit insbesondere auch NP-vollständig ist.

Eventuell beantwortet dir dieser Foreneintrag auch deine Frage.

LG Tutor

Beantwortet: Polynomialzeitreduktion und Komplexitätsklasse

Sun, 15 Oct 2017 12:54:35 +0000

Nur weil X NICHT in P liegt aber auf Y reduzierbar ist, heißt das doch nciht automatisch, dass Y auch NICHT in P liegt?

Doch, genau das heißt es. Denn wenn $$X \leq_{pol} Y$$ gilt, dann ist $Y$ (bis auf polynomielle Faktoren) mindestens so schwer wie $X$. Könnten wir $Y$ in det. Polynomialzeit lösen, dann hätten wir über die Reduktion auch automatisch einen Polzeit-Algorithmus für $X$ (einfach aus der Eingabe $w$ für $X$ in Polzeit die Eingabe $f(w)$ für $Y$ berechnen und dann den Polzeit-Algorithmus für $Y$ laufen lassen (und dann eventuell noch die Lösung von $Y$ durch $g$ in eine Lösung für $X$ rücküberführen); all diese Schritte kosten Polynomialzeit, also bleiben wir insgesamt auch in Polynomialzeit).

Beantwortet: Kann ein Problem X aus P auch NP-schwer sein ?

Mon, 17 Jul 2017 11:14:49 +0000

Wenn das der Fall wäre, würde $P=NP$ gelten. Oder anders gesagt, wenn $P=NP$ wäre, wären alle Probleme aus $P$ auch $NP$-schwer bzw. dann natürlich sogar $NP$-vollständig (bis auf zwei, siehe Komplexitätskapitel in unserem Lehrbuch).

Wir gehen heute von $P \neq NP$ aus, also auch davon, dass es keine $NP$-schweren Probleme in $P$ gibt.

Beantwortet: ndet. und det. Polynomialzeit

Fri, 03 Feb 2017 17:45:22 +0000

P ist die Klasse der von einer deterministischen Turing-Maschine in polynomieller Zeit berechenbaren Funktionen.
NP ist die Klasse der von einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in polynomieller Zeit berechenbaren Funktionen.
Ob es da einen Unteschied gibt ist das P=NP? Problem und kann bis jetzt nicht eindeutig beantwortet werden. Man kann aber sicher sagen, dass P eine Teilmenge von NP ist.

Ich hoffe das beantwortet die Frage und es ist dir etwas klarer geworden. Ansonsten kannst du auch auf Folie 5-37 (und Folgende) noch ein paar Inforamtionen dazu durchlesen oder natürlich hier nachfragen =)

Beantwortet: c) Frage 3 Verständnis

Tue, 03 Jan 2017 15:35:26 +0000

Die Kodierung einer Turingmaschine hat nichts mit der Sprache zu tun, die sie erkennt. Jede Turingmaschine kann durch ein einziges Wort kodiert werden; dieses Wort steht dann für diese Turingmaschine und kann von einer anderen Turingmaschine (oder auch derselben) als Eingabe eingelesen werden.

Die Sprache einer Turingmaschine besteht dagegen normalerweise aus unendlich vielen Wörtern.

Man kann sich jetzt bspw. die Frage stellen: Gibt es eine Turingmaschine, deren Sprache aus den (unendlich vielen) Kodierungen derjenigen Turingmaschinen besteht, die (auf einer bestimmten Eingabe, welche ebenfalls gegeben oder fix festgelegt sein kann) anhalten, also nicht in einer Endlosschleife landen? Das wäre so in etwa die Formulierung des Halteproblems, von dem Sie aus der Vorlesung wissen, dass es nicht entscheidbar, aber immerhin semientscheibar (oder "aufzählbar") ist. Das heißt, dass es so eine Turingmaschine zwar gibt, aber dass diese nicht für alle Eingaben garantiert anhält, sondern nur für diejenigen, die tatsächlich in der Sprache sind.

In der Aufgabe ist aber nach einem noch schwierigeren Problem gefragt, nämlich nach einem, das nicht einmal aufzählbar/semientscheidbar ist, für das es also GAR KEINE Turingmaschine gibt, die nur Instanzen dieses Problems akzeptiert. Wir hatten als ein Beispiel einer nicht aufzählbaren formalen Sprache die Diagonalsprache $L_{NA}$ kennengelernt. Eine formale Sprache ist natürlich immer abzählbar, also erfüllt $L_{NA}$ die Anforderung aus der Aufgabe und hätte dort auch einfach als Lösung angegeben werden. Nun kann $L_{NA}$ noch ein bisschen einfacher kostruiert werden, wie wir das im Lehrbuch (www.dasinfobuch.de, ab Seite 295) tun. Dabei kommt gerade die "Menge der Kodierungen aller Turingmaschinen, die auf ihrer eigenen Kodierung als Eingabe nicht halten" heraus, also die Antwort, die in der Übungsaufgabe gegeben wird.

Interessant ist hierbei zu bemerken, dass die Frage, ob eine Turingmaschine auf einer Eingabe nicht hält, wesentlich schwieriger ist als die Frage, ob sie hält. Diese Unterscheidung ist es, die den Sprung aus der Semientscheidbarkeit in die völlige Unentscheidbarkeit vollbringt. Warum ist das eigentlich so? Denken Sie mal darüber nach... Es ist wichtig, das verstanden zu haben - auch im Hinblick auf die (sicher wieder vorkommende) Komplexitätsaufgabe in der Klausur.

Beantwortet: Was ist eine Diagonalsprache?

Sat, 13 Feb 2016 10:00:07 +0000

Hallo uyejk!

Hast du neben deiner Internetrecherche auch in die Vorlesungsfolien geschaut? Hier ist die Diagonalisierungssprache auf Folie GdInfoII 5-9 definiert:

Du hast eine abzählbare Menge F an Funktionen f: E* -> E* und E* ist die Menge aller möglichen Eingabewörter (E* = {w1, w2, w3, ..}). Jede Funktion f_i verwandelt diese Eingabewörter w_j in einen entsprechenden Funktionswert f_i(w_j).

Die Diagonalsprache g ist nun folgerndermaßen definiert: Man wählt zwei beliebige Wörter u und v (u ungleich v) aus der Menge der möglichen Eingabewörter E*.

Falls f_i(w_i) gerade dem Wert u entspricht, dann hat g für diesen Eingabewert w_i den Funktionswert g(w_i) = v (und damit gilt: f_i(w_i) = u ungleich v = g(w_i)).
Falls f_i(w_i) nicht dem Wert u enrspricht, dann hat g für diesen Eingabewert w_i den Funktionswert g(w_i) = u ((und damit gilt: f_i(w_i) ist nicht u und damit ungleich mit g(w_i) = u).

Wenn du dir die Tabelle auf der oben genannten VL-Folie anschaust, unterscheidet sich g von allen Funktionen f dadurch bildlich gesprochen immer genau in den Funktionswerten "auf der Diagonalen", deshalb also "Diagonalsprache".

Ich hoffe, das hilft dir weiter!

Viele Grüße,
Janine (Tutorin)

Beantwortet: Kann ich ein NP-schweres Problem auf ein NP-vollständiges Problem reduzieren?

Thu, 11 Feb 2016 16:56:08 +0000

Hallo utdtz,

du musst immer auf die "Richtung" achten. In einfachen Worten gesagt, kannst du zwar ein leichtes Problem auf ein Problem das schwerer ist reduzieren, umgekehrt funktioniert das aber natürlich nicht.

Im ersten Teil geht es darum ein NP-schweres Problem auf ein NP-vollständiges in Polynomialzeit zu reduzieren. NP-schwere Probleme können beliebig schwer sein und sind zum Teil auch nicht- oder nur semientscheidbar. NP-vollständige Probleme haben neben der NP-schwere allerdings die "Zusatzeigenschaft", dass sie selbst in NP liegen und demnach nichtdeterministisch in polynomieller Zeit lösbar sind .

Es gibt also NP-schwere Probleme (z.B. ein NP-vollständiges), das sich auf ein anderes NP-vollständiges Problem reduzieren lässt (z.b. SAT auf CLIQUE). Ein beliebiges NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem zu reduzieren funktioniert aber nicht.

Im zweiten Fall dagegen hast du ein recht einfach zu lösendes Problem aus der Klasse P, dass du auf ein schweres Problem (Np-schwer bzw. NP vollständig) reduzierst.

Eine Merkregel wäre auch: Wenn sich A in pol. Zeit auf B reduzieren lässt, kann A "höchstens so schwer sein" wie B.

Viele Grüße,

Tim (Tutor)

Beantwortet: Entscheidbarkeit

Mon, 08 Feb 2016 19:59:16 +0000

Hallo,

nach Aufgabenstellung ist A ein NP-vollständiges Problem. Es ist also nach der Definition eines NP-vollständigen Problems NP-schwer und liegt auch in NP. Da wiederum alle Probleme der Klasse P und NP entscheidbar sind (siehe z.B. Tutorium 4) ist auch A entscheidbar.

NP-schwere Probleme (die nicht NP-vollständig sind) sind zwar zum Teil auch entscheidbar, allerdings gibt es auch einige Probleme die nur semi-entscheidbar oder sogar nicht entscheidbar sind (siehe z.B. Halteproblem).

Beachte auch, dass die Entscheidbarkeit nichts über die Effizienz von einem Algorithmus, mit dem wir das Problem lösen können, aussagt. Ob wir ein Problem in der Praxis tatsächlich effizient lösen können, stellen wir über unsere Komplexitätsklassen fest.

Viele Grüße

Tim

Beantwortet: polynomielle reduzierbarkeit

Tue, 29 Dec 2015 16:03:15 +0000

Hallo,

deine Frage bezieht sich auf das sogenannte P-NP-Problem, eines der wichtigsten offenen Probleme der Informatik:

Für kein NP-vollständiges Problem konnte bisher nachgewiesen werden, dass es in polynomieller Zeit lösbar wäre. (Vermutung(!) die auf Folie 5-42 steht, d.h. P ≠ NP)
Falls nur ein einziges dieser Probleme in polynomieller Zeit lösbar wäre, dann wäre jedes Problem in NP in polynomieller Zeit lösbar, was große Bedeutung für die Praxis haben könnte.

Dieses Problem stellt sich also die Frage, in welcher Beziehung die beiden Komplexitätsklassen P und NP zueinander stehen. Unklar ist, ob die beiden Klassen P und NP identisch sind, und damit auch, ob die schwersten Probleme der Klasse NP ebenso effizient wie die der Komplexitätsklasse P gelöst werden können. Um den Begriff des „schwersten Problems in NP“ formal zu fassen, wurde der Begriff NP-schwer eingeführt. Ein Problem ist NP-schwer, wenn seine Lösung (in Polynomialzeit) die Lösung jedes anderen Problems in NP in polynomialer Zeit ermöglichen würde (Polynomialzeitreduktion).

Ein Problem wird als NP-vollständig (vollständig für die Klasse der Probleme, die sich nichtdeterministisch in Polynomialzeit lösen lassen) bezeichnet, wenn es zu den schwierigsten Problemen in der Klasse NP gehört.

Also so wie du gesagt hast: sowohl in NP liegt, als auch NP-schwer ist. Diese wesentliche Eigenschaft NP-vollständiger Probleme bedeutet umgangssprachlich, dass sich das Problem vermutlich(!) nicht effizient lösen lässt, dass also ihre Lösung auf realen Rechnern viel Zeit in Anspruch nimmt. Alle bekannten deterministischen Algorithmen für diese Probleme erfordern exponentiellen Rechenaufwand, und erfahrene Informatiker erwarten, dass es keine effizienteren Algorithmen gibt. Die Bestätigung oder Widerlegung dieser Vermutung ist gerade das sogenannte P-NP-Problem.

Ich hoffe das Beantwortet deine Frage.

LG Julian (Tutor)

Beantwortet: Abzählbare Menge Teilmenge von Aufzählbar?

Mon, 26 Jan 2015 15:24:32 +0000

Wieso sollten alle abzählbare Mengen auch aufzählbar sein?

Sie meinen doch dieses Bild, oder?

Da ist doch die Menge der aufzählbaren Mengen als eine (echte) Teilmenge der Menge der abzählbaren Mengen dargestellt. Also gibt es auch abzählbare Mengen, die nicht aufzählbar sind.

Beantwortet: Warum bei c) $Y \in NP$?

Fri, 16 Jan 2015 12:10:45 +0000

Hallo!

Nein, die Musterlösung ist korrekt, denn die Regel lautet:

Ein Problem X ist genau dann NP-schwer, wenn sich alle Probleme Y aus NP darauf reduzieren lassen.

Es geht hier also nicht darum, dass die Probleme Y selbst NP-schwer sein müssen, sondern dass man sie alle durch Polynomialzeitreduzierbarkeit auf ein NP-schweres Problem X überführen kann.

Ich hoffe, diese kleine Denkanstoß hilft dir weiter!

Gruß, Janine (Tutorin)

Beantwortet: trival also echt kleiner als P?

Mon, 12 Jan 2015 11:32:33 +0000

Hier muss man mit der Polynomialzeitreduzierbarkeit argumentieren.

Ein Problem X heißt NP-schwer gdw. jedes Problem Q Element NP polynomialzeitreduzierbar auf X ist.
NP-vollständig benötigt zudem noch die Eigenschaft das X Element NP.

Für die beiden trivialen Probleme gilt aber, dass man keine anderen Probleme auf sie reduzieren kann. Das liegt daran, dass entweder alle oder keine Wörter Teil der entsprechenden Sprache {} bzw. E* sind, man findet also keine Elemente, auf die man true bzw. false abbilden kann. Bei der Reduktion müssen wir ja jedes Element x unseres zu reduzierenden Problems A auf ein Element y des Problems {} bzw. E* abbilden, sodass x in A genau dann, wenn y in {} bzw. E*. Für {} finden wir kein Element, falls x in A ist, und für E* finden wir keines, falls x nicht in A ist. Daher ist weder {} noch E* NP-schwer, egal, wie „leicht“ die Probleme aus NP sind.

Beantwortet: Schreiben von Pseudocode klausurrelevant?

Wed, 26 Nov 2014 10:55:35 +0000

Sie müssen Pseudocode auf jeden Fall lesen und verstehen können, komplizierter Pseudocode müssen Sie aber nicht selber schreiben (wobei das hier nicht wirklich kompliziert ist).

Pseudocode haben Sie (soweit ich weiß) schon in Grundlagen der Informatik I gelernt.

Viele Grüße

Friederike Pfeiffer-Bohnen und Lukas König

Beantwortet: was bedeutet aufzählbar ?

Wed, 26 Nov 2014 10:52:51 +0000

Das können Sie auf den Vorlesungsfolien nachlesen (Folie 5-12):

https://studium.kit.edu/sites/vab/0x6E6FEF2FA0879E44A5066460813C8557/Vorlesungsunterlagen/Vorlesungsfolien/Kap.5.Berechenbarkeit+Komplexit%C3%A4t.pdf

Beantwortet: Verständnisporblem zu anhalten/nicht-anhalten von TM

Wed, 26 Nov 2014 10:50:57 +0000

Hallo,

wir haben das vielleicht ein wenig missverständlich (wenn auch nicht falsch) formuliert.

Man kann die erste Menge konkreter und - mit Bezug auf die Diagonalsprache $L_{NA}$ aus der Vorlesung - besser angeben als:

"Die Menge der Kodierungen aller Turingmaschinen, die auf ihrer eigenen Kodierung als Eingabe nicht halten..."

Die Beschreibung der zweiten Menge würde ich dann auch etwas anpassen:

"Die Menge der Kodierungen aller Turingmaschinen mit einer zugehörigen Eingabe, die auf dieser Eingabe anhalten..."

Der Unterschied, der das erste Problem schwieriger macht als das zweite, liegt darin, dass man hier wissen will, ob die Turingmaschine NICHT anhält. Will man nämlich "nur" wissen, ob die Turingmaschine anhält, dann kann man sie "einfach" simulieren und warten, ob sie anhält. Falls sie anhält, hat man die positive Antwort, nur falls nicht, weiß man nicht, ob sie irgendwann anhalten wird oder doch ewig weiterlaufen.

Will man also die zweite Menge $M$ aufzählen, kann man bspw. folgendermaßen vorgehen:

    Erzeuge eine Ordnung (bspw. längenlexikographisch) der Kodierungen aller Turingmaschinen mit Eingaben: $<T1,w1>,<T2,w2>,…;$
    Simuliere $T1$ auf $w1$ einen Schritt weit;
    Simuliere $T1$ auf $w1$ einen weiteren Schritt und $T2$ auf $w2$ einen Schritt weit;
    Simuliere $T1$ auf $w1$ und $T2$ auf $w2$ einen weiteren Schritt und $T3$ auf $w3$ einen Schritt weit;
    ...

Falls irgendeine der Turingmaschinen während der Simulation anhält, füge sie mit der zugehörigen Eingabe zu $M$ hinzu. Auf diese Weise werden alle Turingmaschine-Eingabe-Paare, für die die Simulation anhält, nach endlicher Zeit zu der Menge $M$ hinzugefügt.

Dieses Vorgehen ist bei der ersten Menge nicht möglich, da man, um sicher zu sein, dass eine Turingmaschine NICHT anhält, unendlich lange warten müsste.

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Zusammenhang der ganzen Komplexitätsklassen mit SAT/CLIQUE

Wed, 26 Nov 2014 10:37:47 +0000

Hallo,

Sat und Clique sind Probleme, die Komplexitätsklassen zugeordnet werden können(SAT NP-vollst., Clique NP-schwer, siehe dazu Vorlesungsfolien). Für diese Aufgabe muss man sich die Definition dieser Klassen genauer anschaun und der Reduzierbarkeit.

A<(pol) Sat gilt, da beide Probleme NP-vollst. sind und diese sich immer auf einander pol. reduzieren lassen.

Gruß,

Adam (Tutor)

Beantwortet: $A \notin EXPTIME \backslash PSPACE$: Verständnisproblem

Wed, 26 Nov 2014 10:33:50 +0000

Das stimmt schon so, PSPACE ist Teilmenge von EXPTIME. Also ist EXPTIME\PSPACE nur noch die Menge um PSPACE herum (bis zur Grenze von EXPTIME). In dieser Menge ist also auch NP entfernt worden. Also ist A nicht mehr Teil der resultierenden Menge.

Philippe (Tutor)

Beantwortet: vorletzten Aussage: richtig, weil entscheidbar eine Teilmenge von semientscheidbar?

Wed, 26 Nov 2014 10:30:53 +0000

Hallo,

Genau. Nimm z.B. ein Wortproblem "$w \in L$"? Könntest du eine Turingmaschine bauen, die in endlicher Zeit herausfindet, falls $w \in L$ gilt, deren Verhalten aber unbestimmt ist, falls $w$ nicht aus $L$ ist, dann ist das Problem semi-entscheidbar. Ist das Problem aber entscheidbar, so kann die Turingmaschine in endlicher Zeit ausgeben, ob $w$ aus $L$ ist oder nicht.

Man erkennt also, dass ein Problem nur dann entscheidbar sein kann, wenn es "in beide Richtungen" semi-entscheidbar ist. entscheidbare Probleme sind also, wie du schon richtig sagtest, eine Teilmenge der semientscheidbaren.

Philippe (Tutor)

Beantwortet: 2. Aussage: Warum ist ( A <=pol C) richtig ?

Wed, 26 Nov 2014 10:29:00 +0000

Hallo,

1) Die Aussage liest sich "A ist in polynomieller Zeit auf C reduzierbar".

Es gilt, dass A NP-vollständig ist, also in NP liegt. C ist NP-schwer. Die Definition von NP-schwer besagt, dass alle Probleme in NP auf diese Probleme in polynomieller Zeit reduzierbar sind. Somit muss das auch für A gelten.

Philippe (Tutor)

Beantwortet: Teil e) Was bedeutet P = NP

Wed, 26 Nov 2014 10:20:12 +0000

Hallo,

hierbei handelt es sich um die Frage, ob ein Wort zu den entsprechenden Sprachen gehört, also ob ein Wort aus der leeren Menge ist bzw. aus irgendwelchen Zeichen des Eingabealphabets besteht. Dies Frage ist, wie man leicht sieht, trivial zu beantworten.

Wenn P=NP ist, dann sind ja auch alle NP-vollständigen Probleme (da diese in NP sind) in P. Da sich dann die NP-vollständigen Probleme aber maximal noch um einen polynomiellen Faktor von anderen P-Problemen unterscheiden, und man alle polynomiell lösbaren Probleme ineinander polynomialzeit-reduzieren kann (ausgenommen die beiden trivialen Probleme), sind alle NP-vollständigen Probleme auch auf die anderen P-Probleme reduzierbar.

Somit sind alle Probleme in P=NP auch NP-vollständig (wieder: bis auf die beiden Ausnahmen).

Die Mengen werden nicht größer oder kleiner, sie verschmelzen einfach.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Viele Grüße

Philippe (Tutor)

Beantwortet: warum liegt A nicht in NP ?

Wed, 26 Nov 2014 10:17:54 +0000

Salopp gesagt: Im Diagramm wird es nach außen hin immer schwerer (außer bei der NP-vollst.-Menge, die man sich am Rand von NP denken könnte).

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Teil a) Definition von M'

Tue, 25 Nov 2014 11:13:18 +0000

Hallo,

das M' enthält alle wj, bei denen gilt, dass Mj sie nicht enhält. Es enthält aber keines der wj, für die gilt, dass Mj sie enthält. Wichtig ist hier, zu beachten, dass nur die Diagonalelemente betrachtet werden.

Man kann sich das ganze auch so vorstellen:

Steht in Zeile 1, Spalte 1 eine 0, dann steht in M' (Eintrag 1) eine 1; steht in der Tabelle eine 1, dann steht in M' eine 0

Steht in Zeile 2, Spalte 2 eine 0, dann steht in M' (Eintrag 2) eine 1; steht in der Tabelle eine 1, dann steht in M' eine 0

Steht in Zeile 3, Spalte 3 eine 0, dann steht in M' (Eintrag 3) eine 1; steht in der Tabelle eine 1, dann steht in M' eine 0

...

Somit unterscheidet sich M' von jedem M in der Liste mindestens im Diagonalelement und kann somit nicht Teil der Liste sein.

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.

Viele Grüße

Philippe (Tutor)

Beantwortet: Warrum 5. und 7. Aussage falsch?

Sun, 23 Nov 2014 13:24:22 +0000

Hallo,

es lässt sich weder das eine noch das andere folgern. Sprich, unter der getroffenen Annahme können beide Fälle eintreten, womit keine Folgerung möglich ist.

Q ist in Polynomialzeit lösbar und somit auf jeden Fall auf alle NP-schweren probleme reduzierbar. NP-schwere Probleme sind selbst wiederum (nach heutigem Wissensstand) nicht in Polynomialzeit lösbar, insbesondere nicht, falls sie nicht NP-vollständig sind.

Q kann eventuell aber auch auf ein anderes in polynomialzeit lösbares Problem polynomiell reduzierbar sein (zum Beispiel sich selbst). Dann kann es auch sein, dass eben auch der Fall in Teilaufgabe 7 nicht zutrifft.

Viele Grüße

Philippe (Tutor)

Beantwortet: Was bedeutet $Q \leq_{pol} P \wedge Q$?

Sun, 23 Nov 2014 13:22:33 +0000

Hallo,

du darfst das nicht so abgeschnitten betrachten. Das $\wedge$ ist ein logisches 'und', wie man es aus der Mathematik kennt. Es verknüpft zum Beispiel die beiden Aussagen

$Q \leq_{pol} P$

und

$Q$ ist in Polynomialzeit lösbar.

(Fünfte Wahr/Falsch Frage).

Gruß,

Adam(Tutor)

Beantwortet: Jedes NP-schwere Problem reduzierbar?

Sat, 15 Nov 2014 14:14:06 +0000

Hallo,

diese Frage verstehe ich nicht ganz. Es gibt zu jedem Problem Probleme, auf die man es reduzieren kann (in Polynomialzeit - davon sprechen wir ja die ganze Zeit). Ein Beispiel ist immer das Problem selber; man kann jedes Problem auf sich selbst reduzieren. Aber auch davon abgesehen gibt es normalerweise immer Probleme auf die man ein beliebiges Problem reduzieren kann. Die Frage ist, wann es sinnvoll ist, ein Problem auf ein anderes zu reduzieren. Wenn bspw. ein Problem selbst schon unentscheidbar ist, dann macht eine Polynomialzeit-Reduktion auf ein anderes wenig Sinn, da man dann auch eine zeitunabhängige Reduktion durchführen kann.

Polynomialzeitreduktionen macht man vor allem, wenn man Eigenschaften zeigen will, die sich auf P und NP beziehen.

Viele Grüße

Lukas König und Friederike Pfeiffer-Bohnen

Beantwortet: NP-schwere Probleme auf andere Probleme reduzierbar?

Sat, 15 Nov 2014 14:12:58 +0000

Ja, das kann man. Denken Sie doch nur an all die NP-vollständigen Probleme. Die lassen sich alle gegenseitig auf einander reduzieren.

Viele Grüße

Lukas König und Friederike Pfeiffer-Bohnen

Beantwortet: Warum 1. Aussage nicht falsch?

Sat, 15 Nov 2014 14:11:48 +0000

Hallo,

das Schlagwort dort ist: "Das Problem kann verifiziert werden". NP-Probleme sind definiert als "...von nichtdet. Turingmaschinen in polynomieller Zeit berechenbare Funktionen". Übersetzt heißt das, dass eine ndet. Turingmaschine eine Lösung raten und diese anschliessend in polynomieller Zeit verifizieren kann (Folie 5-37). So ist das gemeint.

Gruß,

Adam (Tutor)

Beantwortet: Frage zur 5. Aussage

Sat, 15 Nov 2014 14:10:47 +0000

Guten Tag,

bitte die Aufgabenstellung genau lesen!

"Warum lässt sich A nur auf C reduzieren, wenn C nicht in NP liegt?"

Es ist keine "genau dann wenn"-Aussage gegeben und somit darfst du hier kein "nur" hineinlesen.

Du hast somit recht, dass man A (als Element der NP-Menge) auf alle NP-schweren Probleme reduzieren kann, es spielt somit keine Rolle ob C zugleich ein Element aus der Menge NP ist oder nicht.

Folglich kann man A auch dann auf C reduzieren, falls C nicht Teil der Menge NP ist und somit ist diese Aussage wahr (es ist nur - wie du richtig erkannt hast - nicht der einzige Fall in dem eine solche Reduzierung möglich ist).

Ich hoffe ich konnte deine Frage klären,

Florian (Tutor)

Beantwortet: Entscheidbarkeit von Problemen

Sat, 15 Nov 2014 14:09:45 +0000

Hallo,

ich verstehe jetzt erst, was Sie mit diesen Mengen (1-4) meinen. Daher doch noch der Nachtrag zu dieser Frage:

"Oder sind die 1. und die 2. Menge gleich, sodass die Menge der nichtentscheidbaren Probleme eine Ellipse außerhalb der semientscheidbaren Probleme ist ohne die der entscheidbaren Probleme?"

Die 1. und 2. Menge sind in der Tat gleich. Nicht entscheidbar sind einfach alle Mengen, die außerhalb der Menge der entscheidbaren Probleme liegen. Diese können semi-entscheidbar (bspw. Halteproblem) oder nicht semi-entscheidbar (also auch noch außerhalb dieser Menge in p(E*); bspw. L_NA) sein.

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Wo liegen "nichtentscheidbare" Probleme

Sat, 15 Nov 2014 14:08:08 +0000

Was glauben SIE denn, wo die nicht entscheidbaren Probleme liegen? Versuchen Sie das doch mal selber herauszufinden...

Ich habe Ihnen ja auch zwei Beispiele für die Lage nicht-entscheidbarer Probleme in diesem Schaubild genannt.

Ich glaube, dass Sie das auch selbst lösen können!

(Sie können gerne einen Vorschlag posten, und ich sage Ihnen dann, ob es stimmt.)

Viele Grüße

Lukas König

Erklärungsveruche zu den Fragen

Sat, 15 Nov 2014 14:01:16 +0000

Hallo,

ich wollte mal fragen, ob ich die jeweiligen Aussagen korrekt verstanden habe:

1. NP-vollständige Probleme können in Polynomialzeit verifiziert werden, da sie in NP liegen und somit in nichtdeterministischer Polynomialzeit lösbar sind.

2. NP-Probleme sind in nichtdeterministischer Polynomialzeit lösbar. (ist gerade die Definition.)

3. NP-schwere Probleme sind mindestens so schwer wie alle Probleme in NP und können somit länger als Polyomialzeit in Anspruch nehmen oder gar semi-entscheidbar sein, also nie eine Lösung ergeben.

4. Alle in deterministischer Polynomialzeit lösbaren Probleme sind auch in nichtdeterministischer Polynomialzeit lösbar. Kann man das folgendermaßen begründen???: Wenn ein Problem durch eine deterministische Konfigurationenfolge lösbar ist, wird auch bei einer nichtdeterministischen irgendwann eine Lösung herauskommen?

Alle Probleme in NP, also auch die in P, sind polynomialzeitreduzierbar auf alle NP-schweren Problemen, also auch auf die NP-vollständigen.

5. Wenn ein NP-schweres Problem nich in NP liegt, ist es sooo schwer, dass es gar nicht mehr in Polynomialzeit lösbar sind. Trotzdem bzw. gerade deshalb sind immernoch alle Probleme aus NP - auch die NP-vollständigen - darauf polynomialzeitreduzierbar.

6. EXPSPACE ist größer als EXPTIME.

7. Alle entscheidbaren Mengen sind abzählbar endlich. Abzählbare unendliche Mengen (z.B. natürliche Zahlen) sind jedoch nicht entscheidbar. Stimmt das so???

Allgemein wollte ich noch fragen:

a) Wo liegt der Zusammenhang zwischen

Problem in nichtdeterministischer Polynomialzeit lösbar <=> durch nichtdeterministische Turingmaschine in Polynomialzeit entscheidbar ???

irgendwie sind mir da die Begriffsabgrenzungen nicht klar.

b) Gibt es Probleme, die eindeutig nicht entscheidbar sind? oder kann man die Aussage "nicht entscheidbar" gar nicht treffen, sodass die Probleme, von denen man glaubt, dass sie nicht entscheidbar sind, dann zu den semi-entscheidbaren zählen? Kann man ein Problem konstruieren, das von vornherein schonmal nicht entscheidbar ist?