Wäre diese Lösung auch als Beweis ausreichend

Question

w=0^n1^2n

xy = 0^n

y=0     -->    x= 0^(n-1)     --->     z= 1^(2n)

xy^iz = 0^(n+1)1^(2n) für i=2   -->Wort liegt nicht in L

Das wäre meine Lösung. Ist dies so möglich? Also ohne die Einführung eines k und j wie es in der Musterlösung gemacht wurde? Vielen Dank!

Comments

Sie dürfen sich $y=0, x=0^{n-1}, z=1^{2n}$ nicht aussuchen, sondern müssen über alle möglichen Zerlegungen argumentieren.

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Auch $xy=0^n$ kann nicht angenommen werden, wir wissen nur, dass $|xy| \leq n$.

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Es müssen ja alle Wörter, xy^iz in L liegen, damit die Sprache regulär ist. Da ich jetzt ein spezielles Wort gefunden habe (das den ersten beiden Bedingungen genügt, aber das gepumpte Wort eben nicht in L liegt, müsste doch bewiesen sein, dass L nicht regulär ist? Das verstehe ich noch nicht so ganz.

Bzw. ganz speziell ist das Wort ja auch nicht, da es ja immer noch von n abhängt, nur eben spezieller als wenn man zusätzlich noch die Variablen k und j einführt

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Im Pumping-Lemma steht, dass es für jedes Wort (ab einer gewissen Länge) EINE Zerlegung gibt.
Im Umkehrschluss musst du für den Gegenbeweis alle möglchen Aufteilungen betrachten.
Übrigens können wir mit Hilfe des Pumping-Lemma nur zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist. Der Umkehrschluss gilt allerdings nicht! Wenn eine Sprache die Eigenschaften des Pumping-Lemma erfüllt, können wir also trotzdem nichts darüber aussagen, ob die Sprache auch regulär ist.

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Siehe Antworten von Janine und Tim. Das Pumping-Lemma hat eine klare Struktur, und an der müssen Sie sich entlanghangeln. (Vielleicht schauen Sie sich nochmal die Definition an...) Die Aussage ist: "[...wenn regulär...,] dann gibt es eine Zerlegung [...]". Das heißt, wenn Sie zeigen wollen, dass eine Sprache nicht regulär ist, müssen Sie die Umkehrung beweisen: "wenn es KEINE Zerlegung gibt [...] dann nicht regulär". Was Sie versuchen, ist: "...wenn es eine Zerlegung gibt, für die es nicht zutrifft..." - und das ist zu wenig.

Answer 1

Hallo uedqa,

um mit Hilfe des Pumping-Lemmas zum Widerspruch zu kommen, müssen wir immer ALLE möglichen Partitionen betrachten, d.h. du darfst dir nicht eine beliebige Belegung von x,y,z suchen und dies zum Widerspruch führen. Daher führen wir auch die Variabeln j und k ein und zeigen den Widerspruch für alle Möglichkeiten. Eingeschränkt wird j und k nur durch unsere ersten beiden Bedingungen des Pumping-Lemma.

Deine Lösung ist also nicht ausreichend um zu zeigen, dass die Sprache nicht vom Typ 3 ist.

Viele Grüße,

Tim

Answer 2

Hallo uedqa!
 

Das Problem ist, dass dein Widerspruchsbeweis so allgemeingültig sein muss, dass er für jede mögliche Zerlegung von w gilt und das ist bei dir leider nicht der Fall!

Betrachte zum Beispiel den Fall n=5, dh. dein Wort w wäre dann w = 0^5 1^(2*5).

Dann zeigst du mit deinem Vorgehen nur, dass du für den Fall, dass xy genau die ersten n Nullen enthält (xy = 0^5) eine Pumpvariable i finden kannst, sodass das gepumpte w nicht mehr in der Sprache drin liegt.

Aber dein Beweis kann keine Aussage darüber machen, ob das auch für die Fälle xy=0^1, xy= 0^2, xy=0^3 und xy=0^4 gilt, dh. für alle Fälle, in denen xy mindestens eine Null (wegen |y|>0), aber weniger als n Nullen hat.

Genau dafür brauchst du die zusätzlichen Variablen j und k, um auch all diese Fälle mit deinem Widerspruchsbeweis abzudecken.

Ich hoffe, das hilft dir weiter!

Viele Grüße,
Janine (Tutorin)