Klassen NP-schwer und NP-vollständig

Question

Auf der Seite 339 im Lehrbuch steht ganz unten

Falls P = NP, dann sind natürlich alle Probleme aus NP in polynomieller Zeit entschiedbar, und damit auch die NP-vollständigen. Falls nein, dann sind die NP-vollständigen Probleme wesentlich schwieriger und benötigen wahrscheinlich exponentielle Zeit.

Wenn aber die Klasse NP auf jeden Fall von einer nichtdeterministischen Turingmaschine in Polynomialzeit lösbar ist, wieso könnten dann die NP-vollständigen, welche in NP liegen, nicht auch in Polynomialzeit lösbar sein? Wieso sollten sie im Fall, dass P ungleich NP, exponentielle Zeit benötigen?

Comments

Das ist eine gute Frage, mit der erfahrungsgemäß viele Probleme haben. Danke fürs Stellen!

Answer 1

Also die Antworten von Lukas (dem Tutor) sind mir jetzt doch ein bisschen zu "umgangssprachlich"

Es ist eigentlich ganz einfach: Wenn wir von Polynomialzeit ohne Zusatz sprechen, meinen wir immer: deterministische Polynomialzeit. Das heißt: die nichtdeterministische Turingmaschine, die ein NP-Problem in Polynomialzeit löst, löst dieses IMMER in Polynomialzeit. Das hat auch nichts mit Glück zu tun, sondern sie "rät" garantiert IMMER richtig. Aber sie tut das eben nichtdeterministisch, und was uns in der realen Welt nur interessiert, ist, wie lange das deterministisch brauchen würde, denn raten können wir nunmal nicht. Deshalb meinen wir, wenn $P \neq NP$ gilt, dass eine deterministische Turingmaschine dann wesentlich länger brauchen würde als eine nichtdeterministische (vermutlich exponentiell länger), um ein $NP$-vollständiges Problem zu lösen.

Answer 2

Hallo,

eine nicht-det. TM kann für alle Probleme aus NP eine Lösung raten und in Pol.zeit herausfinden ob diese richtig ist. Das ist aber nicht gleichzusetzen damit, dass sie das Problem in Pol.zeit lösen kann!!

Im schlechtesten Fall muss sie alle 'Lösungen' raten und überprüfen und das kann eben exponentiellen Aufwand haben, wie zB herauszufinden ob eine Formel in KNF erfüllbar ist, da es eben 2^n mögliche Belegungen gibt.

Hilft dir das?

Viele Grüße

Lukas (Tutor)

Comments

Danke, jetzt ist es mir klar. Also kann ein Problem aus NP in polynomieller Zeit lösbar sein, muss es aber nicht?

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Ich glaube ich weiß was dich verwirrt und versuche es mal etwas umgangssprachlich zu formulieren.
Prinzipiell kannst du natürlich "Glück haben" und deine ndet TM errät gleich beim ersten Mal die richtige Lösung (so einen Fall meinst du ja oder?).
Das ändert aber nichts daran, dass das Problem an sich aber trotzdem exponentiellen Aufwand zur Lösung benötigt.

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Was mich eigentlich verwirrt hat, ist die zweite Antwort aus Aufgabe 91.
Nämlich dass es falsch ist, dass ein Problem B ∈ NP nicht in Polynomialzeit gelöst werden kann. Das heißt doch, dass B in Polynomialzeit lösbar ist oder nicht?