Aufzählbare Mengen können nicht unendlich sein?

Question

Können aufzählbare Menge unendlich viele Elemente enthalten?

 

Eigentlich nicht, weil dann könnten wir sie ja nicht mehr aufzählen, oder? Aufzählbarkeit bedeutet ja auch so etwas wie, dass man alle Elemente der Menge auf einen Schlag sehen und anaylsieren kann. (Bspw um zu prüfen, ob sie entscheidbar sind.)

 

Nur zur Klarstellung: Abzählbare Menge können aber schon unendlich viele Elemente enthalten, oder?

Answer 1

Hallo uuuwm,

Ja, abzählbare Mengen können unendlich viele Elemente haben, da die natürlichen Zahlen auch unendlich sind.

Wenn ich die Definition richtig verstehe gibt es auch aufzählbare Mengen, die unendlich viele Elemente besitzten.
Ein kleines Beispiel: M ist Teilmenge aus E*={a}. Also ist M={lambda, a, aa, aaa, ...). Dann ist M (abzählbar und) mit f(i) = a^i hat man eine berechenbare Funktion. Und es gilt für alle a^j = f(j), also ist die Funktion surjektiv, aber M hat unendlich viele Elemente.
Jeweils i und j aus den natürlichen Zahlen mit der 0.

Wenn dich das Thema interessiert kannst du bestimmt auch den Prof mal fragen.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen

 

Viele Grüße
Anne (Tutor)

Comments

Hey Anne, danke für deine schnelle Antwort!

Für mich sehr aufschlussreich, bis auf eine (eher fundamentale) Sache, die ich evtl. noch nicht ganz verstanden habe:

Auf Folie "1-6" steht, dass w als Wort über dein E* eine endliche Folge von Zeichen ist. Heißt doch, dass unsere "aaaaaa..."-Wörter endlich lang sind. Das bedeutet doch wiederum, dass es damit endlich viele Wörter gibt. Also genau n = |u|+1 Wörter, mit "u ist das längste Wort"). Oder hab ich hier einen Denkfehler?