Theoretische und technische Informatik - ganz praktisch - Letzte Fragen & Antworten in Pumping-Lemma

Beantwortet: alternativ

Sat, 22 Jan 2022 15:00:05 +0000

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, was du mit IyI => 1 meinst. Könntest du das konkretisieren?
Und anstatt 0^(...) müsste es bei der Aufgabe a^(...) heißen, dann funktioniert es auch mit xy=a^j 1<=j<=n, y=a^k 1<=j<=n und z dann entsprechend (wie in der Lösung)

Beantwortet: verstandnis

Sun, 02 Jan 2022 10:44:26 +0000

Hallo uqyxt,

ja kannst du. Wichtig: Es gilt 0 < k <= j <= n!

Grüße

Jahn (Tutor)

Beantwortet: Pumping Lemma 2018-H-03

Tue, 09 Mar 2021 09:34:43 +0000

Hey uuuah,

das Wort geht selbstverständlich auch und mit i=0 liegt ist das Wort nicht mehr in der Menge, also hast du gezeigt, dass es keine rechtslineare Sprache ist.

Viele Grüße und viel Erfolg beim weiteren Lernen :)

Beantwortet: Pumping-Lemma Wortwahl

Mon, 10 Feb 2020 14:52:22 +0000

Hallo uoioh,

da das Pumping Lemma ein Widerspruchsbeweis ist, genügt es hier, einen möglichen Aufbau des Wortes zu verwenden und für diesen zu zeigen, dass die Bedingungen dafür nicht alle erfüllt sind. Hat man es für ein Wort bewiesen, ist der Widerspruch erfüllt.

Ich glaube, das mit dem Testen des einzigen Wortes hast du falsch verstanden. Es genügt uns, für ein Wort zu zeigen, dass alle möglichen Zerlegungen in x, y und z dazu führen, dass eine der drei Bedingungen (1), (2) oder (3) nicht erfüllt ist.

Ein Problem gibt es nur, wenn du ein Wort wählst, und die Bedingungen nach dem Pumpen zufällig immer noch alle korrekt sind. Das ist bei den Aufgaben im Normalfall aber nicht so.

Viele Grüße
Hannah (Tutorin)

Beantwortet: Kommt PPL für Kontextfreie Grammatik dran oder nicht?

Sat, 08 Feb 2020 10:36:00 +0000

Wurde schon mehrmals beantwortet - ja, es ist klausurrelevant!

Beantwortet: Verständnisfrage PUM-AD

Mon, 03 Feb 2020 08:10:01 +0000

Das frage ich mich auch. Es können doch garnicht beide Einsen vorkommen, da die Menge von der mittleren 0 = l ist und somit vwx entweder ganz oder teilweise (dann mit jeweils einer 1) enthält, aber nicht darüber hinaus. Daher kann vwx doch nur max eine 1 enthalten.

Somit können doch auch garnicht die Nullen aus allen drei Bereichen vorkommen, oder liege ich da komplett falsch.

Danke für die Rückmeldung,

Gruß

Beantwortet: Pumping Lemma Beweisführung welche Sprachen ?

Sun, 05 Jan 2020 06:47:07 +0000

Hallo,

es gibt zwei Arten des Pumping Lemma. Eins für reguläre Sprachen und eins für kontextfreie Sprachen. Bisher habt ihr nur das für reguläre Sprachen kennengelernt. Das Semester ist aber noch nicht vorbei.

Viele Grüße

Niklas (Tutor)

Beantwortet: Zusammenhang der kontextfreiensprache in Grammatik in Bezug zum PPL

Thu, 07 Feb 2019 20:51:56 +0000

Hallo uzmzu,

mit dem PPL kannst du ja nur prüfen, ob eine Sprache nicht zu L1 (bzw. L3) gehört.
Es kann natürlich sein, dass du nur eine Pumpstelle bei deiner Sprache hast, es ist ja nur Vorrausgesetzt, das bei z = uvwxy, |z| >= n und die Pumpstellen v,x mit |vx| >= 1 sein (und der dritten Bedingung). Also kann v oder x auch lamda sein.

Und natürlich können die Pumpstellen auch unterschiedlich oft gepumpt werdem. Aber man kann sie auch gleich oft pumpen und das gepumpte Wort muss immer noch in der Sprache sein. Also nur ein spezieller Fall.

Dein Beispiel gehört zu L1, deshalb kann man mit dem PPL nicht zeigen, dass es nicht zur Sprache gehört

Es ist einfach nur das Vorgehen des PPL, dass es zwei Pumpstellen gibt, die gleich oft gepumpt werden. Deine angebrachten Punkte von dir sind für die Realisierung der individuellen Wörter des Sprache richtig.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. Wenn es noch Unklarheiten gibt, schreibe einfach noch mal.

Viele Grüße

Anne (Tutor)

Beantwortet: Beziehung zu |z| >= n

Thu, 07 Feb 2019 20:33:58 +0000

Hallo,

das muss auch nicht gelten für i=0, wie du ja schon geschrieben hast, die Schleifen müssen nicht durchlaufen werden.

Die Sprache muss Pumpstellen haben (sonst könnte man nur endlich viele Wörter erzeugen).

Die Idee dahinter ist eine andere: Du nimmst ein Wort z, das mindestens n Zeichen lang ist. Dies ist die Vorraussetzung.
Dein gewähltes Wort z beinhaltet also auch eine Pumpstelle, sonst wäre es nicht mindestens n Zeichen lang. Die Schleife muss aber nicht zwangsläufig durchlaufen werden (i=0), dann ist das modifizierte Wort möglicherweiße kürzer als n Zeichen, aber es muss immer noch zur Sprache gehören, da man die Pumpstelle (von z) beliebig oft pumpen kann (i=0,1,2,...).
Also ist die Grundlage nicht hinfällig, da immer noch gilt |z| >= n.

Das selbe Prinzip gilt auch bei dem PPL für reguläre Sprachen.

Ich hoffe es ist nun klarer, wenn du noch Fragen hast kannst du gerne noch einmal schreiben.

Viele Grüße
Anne (Tutor)

Beantwortet: alternative Zerlegung PPL für kontextfrei Sprachen A66

Mon, 12 Feb 2018 19:39:37 +0000

Hallo,

deine Unterscheidungen im zweiten Fall überschneiden sich: wenn $vx$ eine $1$ oder eine $3$ enthält, kann es trotzdem auch eine $2$ enthalten.

Außerdem folgt im zweiten Fall für (1) nicht direkt, dass das gepumpte Wort nicht in der Sprache liegt: Mehr $0$en als $1$en sind grundsätzlich erlaubt, solange $\vert z\vert _0=\vert z \vert _2$ und $\vert z\vert _1=\vert z \vert _3$ gilt. Das gleiche gilt auch für die anderen Fälle.

Viele Grüße

Julia (Tutorin)

Beantwortet: Verständnis Hinweis

Sat, 10 Feb 2018 05:27:55 +0000

Hallo,

du hast Recht, dieser Fall ist auch bei L' nicht erfüllt, jedoch kannst du den Widerspruch der beiden anderen Fälle nicht zeigen, da auch s=t gelten könnte und somit Fall 1 und 3 für L' erfüllt wären.

Viele Grüße

Niklas (Tutor)

Beantwortet: Antwort Formulierung

Sun, 12 Feb 2017 12:49:11 +0000

Am besten du gehst das Pumping Lemma ganz formal durch. Mit allen Annahmen und Bedingungen. Falls du nicht weiterkommst kannst du auch deine Idee aufschreiben, wie du weiter vorgehen würdest. Das gibt mit Sicherheit nicht die volle Punktzahl, hilft uns aber deinen Gedankengang besser nachzuvollziehen.

Grüße, Felix (Tutor)

Beantwortet: Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen Aufgabe 65

Thu, 09 Feb 2017 14:04:25 +0000

Sie haben absolut recht! Das ist zwar kein Widerspruch und strenggenommen auch nicht im mathematischen Sinne falsch (denn man kann über zwei Einsen (oder auch vier oder fünf) im Wort sprechen, auch wenn das gar nicht möglich ist, solange sich keine logische Inkonsistenz ergibt), aber natürlich ist das überflüssig, und wir haben uns da offensichtlich verformuliert.

Vielen Dank für den Hinweis! Ich werde das in der Online-Version gleich anpassen. Wir hatten schon lange keinen neuen Fehler mehr in den Übungsbüchern - Sie haben ein gutes Auge!

Beantwortet: Zerlegung

Thu, 02 Feb 2017 11:26:53 +0000

Hallo,

ersteinmal steht auch in der Lösung, dass die angegebene Sprache keine rechtslineare Sprache ist. Insofern ist Ihr Ergebnis korrekt.

Sie haben jedoch methodisch eine Unsauberkeit, da Sie (denke ich) festlegen, dass j+k=n. Dies ist jedoch nur eine der Zerlegungen, die die Bedingung

1) |xy| <= n

erfüllt ( und zwar genau der Fall: |xy|=n).

Wir wollen beim Pumping-Lemma erst alle möglichen Zerlegungen des Wortes betrachten, die die 3 Bedingungen erfüllen und dann zeigen, dass diese Zerlegung im konkreten Fall durch Wahl der Pumpvariable i nicht mehr in L liegt.

Beantwortet: Pumpen mit i=0

Wed, 01 Feb 2017 10:04:09 +0000

Nein. Lassen Sie uns das mal präzise formulieren:

Die Länge von $y$ ist $|y|$, und diese muss größergleich eins sein, also darf $y$ nicht leer sein. Äquivalent schreiben wir deshalb manchmal auch $y \neq \lambda$. $y^0$ ist aber ein ganz anderer Ausdruck als $y$, über den in den Eigenschaften des PPL nichts ausgesagt wurde. Dieser kann (im Sinne von "darf") prinzipiell beliebig viele Zeichen enthalten - in diesem Fall hat er eben 0.

Das ist so, wie die beiden Aussagen "Auf Landstraßen gilt eine Maximalgeschwindigkeit von $v=100$ km/h" und "die Geschwindigkeit $v$ geteilt durch zwei ist eine gute Abschätzung für den Mindestabstand" (laut ADAC ) ganz normal nebeneinander stehen können.

Beantwortet: Pumpvariable wählen

Sun, 29 Jan 2017 23:33:34 +0000

Hallo,

die Pumpvariable i ist generell frei wählbar. Man muss schlichtweg für jede mögliche Zerlegung z=uvwxy ein i finden, sodass uv^iwx^iz nicht Element der Sprache ist. In diesem Fall wurde i einfach für alle Zerlegungen gleich 0 gewählt.

Viele Grüße

Monika (Tutorin)

Beantwortet: Reicht ein speziefisches Wort zur Widerlegung des Pumpinglemmas?

Thu, 26 Jan 2017 08:49:34 +0000

Hallo,
da hast du die Grundlegende Idee hinter dem PPL noch nicht so ganz verstanden. Wir versuchen ja beim PPL gerade durch die Verwendung der Hochzahlen zu zeigen, dass wir für ALLE n und für ALLE Zerlegungen des Wortes mindestens EINE mögliche Pumpvariable finden, bei der es zu einem Widerspruch kommt.
Also kannst du eben nicht nur ein mögliches Wort finden, sonder musst es für alle n zeigen. Jede EA-Sprache muss ja auch nur für EIN n EINE Zerlegung besitzen, für die wirklich alle Pumpmöglichkeiten noch Teil der Sprache sind. Schau dir am besten nochmal die Folie 29 im 2. Kapitel an da steht das ganz gut erklärt.
Ich hoffe das hat dir ein bisschen geholfen.

Beantwortet: Übungsbuch Aufgabe 68 alternative Lösung

Tue, 24 Jan 2017 09:30:35 +0000

Bei Fall 1 hast du einen Fehler. Richtig wäre z.B. ... $|w'|_{0 in A} \neq |w'|_{0 in B}$ und/oder $|w'|_{1 in A} \neq |w'|_{1 in B}$ ....

Bei Fall 2: du hast ja das Wort $w=0^n1^n0^n1^n$ gewählt, dann müsste $vx=1^k0^j$ mit $1 \leq k \leq n-j$ und $1 \leq j \leq n-k$ sein.

Die Argumentation ist aber grundsätzlich richtig.

Viele Grüße

Philipp (Tutor)

Beantwortet: Abkürzen der Beweisfälle

Tue, 17 Jan 2017 15:00:28 +0000

Natürlich, das ist ein ganz typisches Vorgehen. Man muss nur genau aufpassen, wie man formuliert, damit einem nicht Spezialfälle durch die Lappen gehen.

In dieser Aufgabe heißt es bspw. "$vx$ enthält keine $2$ und keine $3$", somit also nur die Zeichen $0$ und/oder $1$. Das ist absichtlich so negiert formuliert, denn positiv geschrieben müsste man schon mehr Fälle abdecken ($vx$ enthält entweder $0$ oder $1$ oder beides), was schnell fehleranfällig wird. Man braucht ein bisschen Übung, um zu sehen, wie man das geschickt macht - aber es ist auf jeden Fall eine legitime und gute Technik, die Sie einüben sollten.

Beantwortet: Alternative Lösung

Mon, 16 Jan 2017 10:56:47 +0000

Ja, da du alle Zerlegungen mit deinen Fällen abdeckst.

Es hat sich noch ein Flüchtigkeitsfehler in deinem zweiten Fall eingeschlichen. Es müsste heißen: wegen |vwx|<=k kann ....

Viele Grüße

Philipp (Tutor)

Beantwortet: Pumpvariable i=0

Sun, 15 Jan 2017 11:43:59 +0000

Man kann die Argumentation auch mit i=0 führen.

vx enthält kein c: Wort z' enthält weniger a’s und/oder weniger b’s als z. Die Anzahl der c's bleibt aber gleich -> z' ist nicht Teil der Sprache

vx enthält kein a: für jedes "gelöschte" b müssen k c's "gelöscht" werden -> vx muss mindestens k+1 Zeichen enthalten oder leer sein -> Widerspruch -> z' ist nicht Teil der Sprache

Viele Grüße

Philipp (Tutor)

Beantwortet: Alternative Fallunterscheidung

Sun, 15 Jan 2017 11:03:26 +0000

Grundsätzlich schon, du hast aber 4 Fälle vergessen, nämlich das |vwx| nur Zeichen aus einem Zahlenblock enthält.

Aber die Argumentation funktioniert ja dort genau so, wie bei den anderen Fällen. Also ist dein Ansatz grundsätzlich richtig.

Viele Grüße

Philipp (Tutor)

Beantwortet: Verständnisfrage

Sat, 14 Jan 2017 17:25:20 +0000

Der 2.2 Fall wurde als "Mindestens eine Eins ist in vx enthalten" formuliert, da es komplementär zu "Keine Eins ist in vx enthalten" ist. Aber du hast Recht, man könnte auch schreiben "vx enthält eine Eins" und würde trotzdem alle Fälle abdecken, da vwx nur eine Eins beinhalten kann.

Zu deiner zweiten Frage: Man kann nicht immer im 2.2 Fall über die Anzahl der Nullen argumentieren, da z.B. $vx =1$ sein könnte, also vx aus keinen Nullen besteht. Wenn wir jetzt pumpen, ändert sich die Anzahl der Nullen nicht. Folglich können wir auch nicht über die Nullen argumentieren, dass das gepumpte Wort nicht mehr Teil der Sprache ist.

Viele Grüße

Philipp (Tutor)

Beantwortet: alternativ Lösung

Sat, 14 Jan 2017 15:48:38 +0000

Hallo,

am Ende schreibst du, dass die gepumpten Wörter nicht mehr Teil der Sprache sind, jedoch die Tatsache, dass die Anzahl der „a's zum Quadrat […] ungleich der Anzahl der c's „“ sind, ist noch kein Anzeichen dafür, dass das Wort nicht mehr Teil der Sprache ist.
Beispiel aabcc ist Teil der Sprache, obwohl Anzahl a's zum Quadrat ungleich der Anzahl der c's ist.
Hier müsstest du schon wie in der Musterlösung argumentieren.

Die Beiden Fälle hast du ja grundlegend wie der in der Musterlösung erkannt:
1) vx enthält kein c (du schreibst hier „enthält min ein a“ was auch nicht ganz korrekt ist, weil es kann auch nur b enthalten. Wichtig ist eben, dass es kein c enthält)
2) vx enthält kein a

Grüße, Sören (Tutor)

Beantwortet: Ausreichender Beweis

Sat, 14 Jan 2017 15:13:13 +0000

Na ja, fast. Ganz am Ende werden Sie ein bisschen schlampig mit den Bezeichnungen - $w$ ist oben gleich $0^n1^n$, da kann es unten nicht plötzlich $0^{n-k}1^n$ sein, zumindest, solange $k \geq 1$. Das können Sie stattdessen meinetwegen $w'$ nennen oder so.

Ansonsten ist der Beweis aber in Ordnung.

Minimal notwendige/r Begründung/Widerspruch

Wed, 11 Jan 2017 23:46:08 +0000

Hallo,

wenn ich meine Widersprüche bei Aufgaben zum kontextfreien PPL hauptsächlich informel (nicht mathematisch sondern "verbal") führe, ist meine Frage, was da der minimale Umfang sein muss. Dies ist eine generelle Frage, lässt sich aber gut an PUM-AH veranschaulichen, ist aber zum Beispiel auch bei der Lösung von PUM-AI relevant.

Ich habe als mögliche Pumpstellen identifiziert:
$vx \in\{a\},\{b\},\{a,b\}$

Für $vx \in \{a\},\{b\}$ ist die Begründung ja logisch.

Für $vx \in \{a,b\}$ frage ich mich jedoch, ob die Fallunterscheidung notwendig ist oder nicht mit dem ersten Teil der Begründung auch der zweite Teil ad absurdum geführt wurde und die dort gelieferte Begründung nurnoch ein zusätzliches Ausschlusskriterium bildet.

Selbiges gilt für beide Fallunterscheidungen in Aufgabe PUM-AI.
Da maximal Elemente aus 2 der 3 Klammern gepumpt wederden können, wird zwangsläufig das Verhältnis der Klammer-Terme untereinander gestört.
Die Fallunterscheidung im Ersten Fall könnte also auch in einem Satz formuliert und die zweite Fallunterscheidung ganz weg gelassen werden, da zwar ein Zeichen doppelt vorkommt aber auch das Verhältnis der drei Terme gestört wird (was ja schon erwähnt wurde).

Also zusammenfassend: Reicht es aus einen generellen Gegenbeweis in einem wohlformulierten Satz zu führen, ohne mögliche weitreichendere Verstöße gegen die Definition der Sprache zu behandeln, da diese ja implizit sind?

Besten Dank und ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt.

Beantwortet: alternativer Beweis

Wed, 04 Jan 2017 19:18:04 +0000

Ich gehe mal davon aus, dass du von Wort $w=a^kb^{k^2}$ und $i=2$ ausgehst.

Dann ist deine Aussage "für jedes gepumpte a muss zusätzlich k b's entstehen" falsch. Beispiel: $w=a^2b^4$ ->k=2 -> gepumptes Wort $a^3b^9$ -> es müssen 5 b's entstehen und nicht 2

Für ein gepumptes a müssen zusätzlich $2k+1$ b's entstehen, für zwei gepumpte a's müssen zusätzlich $4k+4$ b's entstehen, für 3 müssen $6k+9$, ...

D.h. für jedes gepumpte a müssen mindestens $2k+1$ b's entstehen.

Jetzt kann man die Argumentation wie in Aufgabe 69 verwenden:

vx muss entweder leer sein -> Widerspruch
oder vx muss mindestens $2k+2$ Zeichen enthalten -> Widerspruch

Viele Grüße Philipp (Tutor)

Beantwortet: alternative Lösung

Wed, 04 Jan 2017 11:09:43 +0000

Ja, da du für alle Zerlegungen ein i gefunden hast, sodass das gepumpte Wort nicht mehr Teil der Sprache ist, kannst du auch mit deinem Ansatz beweisen, dass die Sprache nicht kontextfrei ist.

Viele Grüße Philipp (Tutor)

Beantwortet: Alternativer Beweis

Thu, 11 Feb 2016 12:51:02 +0000

Hallo udeqy,

ja, meiner Meinung nach wäre diese Begründung auch korrekt!

Gruß,
Janine (Tutorin)

Beantwortet: Pumping-Lemma

Thu, 11 Feb 2016 09:55:02 +0000

Der Beweis muss korrekt sein. So allgemein, wie Sie das gerne hätten, kann man die Frage nicht beantworten. Machen Sie mal ein Beispiel, dann können wir darüber diskutieren, ob es korrekt ist.

(Erfahrungsgemäß machen es sich Studenten, die so, wie es Ihre Frage andeutet, an Beweisverfahren herangehen, eher zu einfach. Ein Beweis muss lückenlos sein, da gibt es keine Kompromisse. Das heißt nicht, dass es sehr viel Text sein muss, es muss auch nicht alles formal aufgeschrieben werden - aber es muss präzise dargelegt werden, warum das Pumpen in dem jew. Fall nicht möglich ist.)

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Definitionsbereiche von n bei PPL

Tue, 09 Feb 2016 17:29:42 +0000

Es handelt sich bei beiden PPLs um große $n$ (vor allem um mit dem gewählten Automaten oder der gewählten Grammatik wachsende $n$) - ob die 0 dabei ist oder nicht ist völlig irrelevant.

Im Fall von EA muss das $n$ mindestens so groß sein wie die Anzahl der Zustände eines EA - EAs mit $0$ Zuständen wären nicht einmal theoretisch wohldefiniert. Bei Grammatiken wächst das $n$ sogar exponentiell mit der Anzahl der Nonterminale - und auch hier darf es nicht $0$ Nonterminale geben.

Beantwortet: Ist es auch richtig 3 statt nur 2 Fälle wie in der Lösung zu untersuchen?

Sun, 07 Feb 2016 19:01:39 +0000

Hallo,

i.d.R versucht man es sich so einfach wie möglich zu machen. Du kannst natürlich auch deinen 3, Fall untersuchen, wobei mir nicht erschließt was das außer einem Mehraufwand für dich bringt ;) Mache es dir nicht unnötig schwer :)

Zur Pumpvariable, die ist dir frei überlassen, sobald du die richtige Stelle nimmst kannst du sowohl mit i=0 als auch mit i=2 pumpen, das ist dir überlassen, es sollte beides funktionieren. Hauptsache du nimmst nie i=1 ;)

Viele Grüße,

Marc (Tutor)

Beantwortet: Verständnis

Tue, 02 Feb 2016 23:03:29 +0000

Hallo uodjt,

in dieser Aufgabe wurde als Wort z = uvwxy = 0^k 1^k 2^k 3^k gewählt.

Wenn du dir nun den ersten Fall anschaust, dann besteht vx aus s Nullen und t Einsen (vx = 0^s1^t). Demnach fehlen diese eben im Rest des Wortes uwy (d.h. von den k Nullen sind nur noch k-s Nullen übrig und von den k Einsen nur noch k-t Einsen). So erklären sich die Exponenten.

Zu deiner zweiten Frage: Nein, das wäre falsch, weil die Sprachdefinition über die Beziehung zwischen der Anzahl an Nullen und Dreien und die Beziehung zwischen der Anzahl an Einsen und Zweien keine Aussage macht. Laut der Sprachdefinition muss stattdessen die Anzahl der Nullen mit der Anzahl der Zweien übereinstimmen (gleicher Exponent i) und die Anzahl der Einsen mit der Anzahl der Dreien (gleicher Exponent j). Dagegen sagt die Aufgabe nichts darüber aus, dass die Exponenten i und j in einer besonderen Beziehung zueinander stehen müssen, daher kannst du über den Vergleich von Zahlen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. 1 und 2) auch keine Aussage zum Widerlegen des PPL treffen.

Ich hoffe, das hilft dir weiter!

Viele Grüße,

Janine (Tutorin)

Beantwortet: Alternativer Weg

Tue, 02 Feb 2016 22:43:10 +0000

Hallo uodjt!

Ich glaube du hast einfach nur den ersten Satz der Aufgabe überlesen. Da steht, dass x' gerade die Umkehrung von x ist, also einfach x rückwärts.

Damit ist x = x' durchaus möglich, nämlich dann, wenn x symmetrisch zu sich selbst ist (z.B. x = 000 oder x = 010)

Ich hoffe, das hilft dir weiter!

Viele Grüße,

Janine (Tutorin)

Beantwortet: Verständnis Nr 67 Pumping-Lemma

Tue, 02 Feb 2016 17:29:59 +0000

Hallo uodjt,

es gab schonmal eine Frage die auf Ähnliches abzielte:

http://info2.aifb.kit.edu/qa/index.php?qa=3586&qa_1=unterscheidung-i-0-und-i-2

Das wichtige ist, dass der Fall von der konkreten Sprache abhängt und es keine Einfache Regel, à la kommt dies nimm das gibt.

Mein Tipp ist, schau dir die Sprache an und die Zerlegung die du gewählt hast. Dann ist es häufig mit einfachen i's wie i=0 oder i=2 zu zeigen. Ein Patentrezept gibt es aber nicht.

Viel Erfolg,

Marvin (Tutor)

Beantwortet: Verständnis Nr 65

Tue, 02 Feb 2016 16:25:49 +0000

Hallo,

das wäre hier natürlich ebenfalls richtig. Die Ausdrücke |vx| >= 1, |vx| > 0, vx != λ sind equivalent, da Wörter ja immer nur eine ganzzahlige Länge haben können.
Für die Variation kann ich keinen Grund erkennen, allenfalls um die verschiedenen Varianten aufzuzeigen.

Grüße,
Lukas (Tutor)

Beantwortet: Lösung nach Ansatz von Aufgabe 66

Fri, 17 Jul 2015 08:38:45 +0000

Hallo,

wenn ich Ihre Idee richtig verstehe, kann das so nicht klappen. Durch $i=0$ fallen ja $s$ Nullen und $t$ Einsen weg. Wenn aber $s=t$ ist, dann bleibt die Anzahl an Einsen gleich der Anzahl der Nullen im Wort.

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Unverständnis der Bemerkung in der Lösung

Mon, 12 Jan 2015 17:40:34 +0000

Hallo Maximilian,

Die beiden Sprachen L' und L'' kannst du dir schön im Kellerautomaten vorstellen, damit wird auch klar wieso diese beiden kontextfrei sind.

Bei L={0$^i$1$^i$2$^j$3$^j$ | i,j $\in$ $\mathbb{N}$} legt der Kellerautomat zuerst die 0 in den Keller, prüft anschließend ob es genau so viele 1 gibt, anschließend sollte der Keller leer sein, danach überprüft er das selbe mit 2 und 3.

Bei L''={0$^i$1$^j$2$^j$3$^i$ | i,j $\in$ \mathbb{N}}legt der Kellerautomat alle 0er ab, danach alle 1er, prüft ob es gleich viele 2er wie 1er gibt und anschließend prüft er ob es gleich viele 3er wie 0er gibt. Nach dem LiFo Prinzip, ist es relativ anschaulich wie ein Kellerautomat so etwas akzeptieren könnte.

Ich hoffe ich konnte dir helfen, falls du noch weitere Fragen hast stelle sie gerne :)

Viele Grüße,

Marc (Tutor)

Beantwortet: Vollständiger Beweis nötig oder reicht 1 Teilschritt?

Sun, 28 Dec 2014 22:44:41 +0000

Wie schon gesagt wurde, müssen alle Möglichkeiten durchgegangen werden.

Man kann das Pumping-Lemma übrigens auch als eine Art Spiel auffassen (man selbst spielt sozusagen "gegen das Pumping-Lemma"), wie es in einem Beitrag bei Stackexchange erklärt wird. Ich finde, das ist eine sehr schöne und intuitive Art, sich das Vorgehen klarzumachen, und vielleicht hilft es Ihnen auch beim Verständnis:

Here is an example for the pumping lemma: suppose the language $L=\{ a^k \mid k ∈ P\}$ is context free ($P$ is the set of prime numbers). The pumping lemma has a lot of $∃/∀$ quantifiers, so I will make this a bit like a game:

1. The pumping lemma gives you a $p$

2. You give a word $s$ of the language of length at least $p$

3. The pumping lemma rewrites it like this: $s=uvxyz$ with some conditions ($|vxy|≤p$ and $|vy|≥1$)

4. You give an integer $n≥0$

5. If $uv^nxy^nz$ is not in $L$, you win, $L$ is not context free.

For this particular language for $s$ any $a^k$ (with $k≥p$ and $k$ is

a prime number) will do the trick. Then the pumping lemma gives you

$uvxyz$ with $|vy|≥1$. To disprove the context-freeness, you need to

find $n$ such that $|uv^nxy^nz|$ is not a prime number.

$$|uv^nxy^nz|=|s|+(n-1)|vy|=k+(n-1)|vy|$$

And then $n=k+1$ will do: $k+k|vy|=k(1+|vy|)$ is not prime so $uv^nxy^nz\not\in L$. The pumping lemma can't be applied so $L$ is not context free.

Die Variable $p$ nennen wir normalerweise $n$, und die Pumpvariable, die hier $n$ genannt wurde, ist bei uns gewöhnlich $i$. Das Vorgehen funktioniert analog auch beim Pumping-Lemma für reguläre Sprachen.

Vergleichen Sie hierzu auch den Beweis, dass die obige Sprache $L$ nicht regulär ist aus Aufgabe HU-1-4.

Beantwortet: PPL zum Nachweis regulärer Sprachen geeignet?

Tue, 25 Nov 2014 09:54:45 +0000

Hallo,

Ich verstehe nicht ganz, was du mit "das PPL ist erfüllt" meinst...Meinst du damit, dass die Aussagen (1)-(3) usw. erfüllt sind?

Das PPL ist nur ein Werkzeug, das besagt, welche Eigenschaften eine reguläre Sprache hat. Diese direkt nachzuweisen ist schier unmöglich, denn du müsstest dazu (1)-(3) usw. für ALLE Wörter nachweisen. Deswegen verwenden wir das PPL immer nur, um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist. Für den Beweis, dass eine Sprache regulär ist, ist das PPL gänzlich ungeeignet.

In dieser Aufgabe ist w dein gewähltes Ausgangswort, das du durch Pumpen mit i so verändern möchtest, dass das daraus resultierende Wort nicht mehr in der Sprache drin liegt. Wenn du irgendwie ein anderes Ausgangswort pumpst und dann auf w als Ergebnis kommst, dann kannst du keine Aussage treffen. In sofern stimmt also deine 2. Vermutung.

Ich hoffe, das hat ein wenig weitergeholfen :)

Viele Grüße,

Vivian (Tutor)

Beantwortet: alternative Argumentation: richtig?

Tue, 25 Nov 2014 09:40:47 +0000

Nein, diese Argumentation ist leider nicht zulässig, da |xy| jede Anzahl kleiner gleich n (≤n) annehmen kann, du allerdings in deiner Argumentation die (exakte) Gleicheit voraussetzt.

Dadurch entstehen übrigens weitere Fehler bei dir, also bitte gleich Zeile 2 ändern und dann nochmal von vorne ;)

Gruß

Philip (Tutor)

Beantwortet: Ist Widerspruchsbeweis durch definieren von xy & z zulässig?

Tue, 25 Nov 2014 09:27:42 +0000

Hallo,

ich verstehe leider nicht ganz, wie man am Ende auf $z = 0^{n-k}1^n$ kommt.

Weil man nimmt doch den Fall an, dass $i=0$ ist. Also $w' = xy^0z$

Demnach hätte ich gedacht, dass $y^0 = 1$ ist, also man dann da stehen hat:

x1z=0^{j-k}10^{n-j}1^n=0^{n-k}1(n+1)

Wo liegt mein Denkfehler?

Danke

Beantwortet: PPL für jede Zerlegung ?

Tue, 25 Nov 2014 09:13:59 +0000

Hallo Adam, hallo Sven,

Adam hat trotzdem mit seiner Anmerkung recht - wir haben das nicht hundertprozentig korrekt formuliert. Wir werden das ändern zu:

"Es seien $x,y,z∈E^∗$ Wörter, sodass gilt: $w=xyz$ und [...] (1), (2), (3)"

(oder so ähnlich).

Viele Grüße

Lukas König

Beantwortet: Verständnisschwierigkeit: Folgerung von vx zu z' ?

Tue, 25 Nov 2014 08:48:03 +0000

Hallo David,

V und x müssen laut Vorraussetzung (2) existieren. Im ersten Beispiel sind $vx = 0^s1^t$. Wenn man jetzt mit i = 0 pumpt, dann bedeutet das, dass s nullen und t einsen im wort uwy fehlen. Dann kommst du genau auf dein z.

Ich hoffe, dass ich dir damit etwas helfen konnte.

Grüße,

Jördis (Tutorin)

Beantwortet: alternative argumentation

Tue, 25 Nov 2014 08:44:12 +0000

Hallo,

prinzipiell passt das schon so, allerdings würde mir persönlich bei der Begründung noch der entscheidende Punkt fehlen, nämlich dass vwx aufgrund eben dessen, dass es maximal zwei versch. Zeichen enthält, nie in zwei Zahlenbereiche mit dem gleichen Index reinreichen kann, und somit nur ein i, oder i und j, oder ein j, aber nie beide is oder beide js gleichzeitig gepumpt werden können (mit i meine ich in diesem Kontext das i aus der Sprachen-Definition).

Ansonsten ist es prinzipiell genau das, was in der Lösung mathematisch formuliert wurde, in textform.

Viele Grüße

Philippe (Tutor)

Beantwortet: Alternative Argumentation

Tue, 25 Nov 2014 08:31:32 +0000

Hallo,

dein gewähltes Wort ist nicht Teil der Sprache. Wenn ich es in der Mitte aufspalte, müssen links und rechts gleich viele Nullen und Einsen stehen. Bei dir stehen links der Mitte aber nur Nullen und rechts nur Einsen. Schau dir die Sprache nochmal genauer an.

Bei deiner weiteren Argumentation sagst du auch "Sei vwx=0^j...". Du darfst dir aber nicht aussuchen, wie vwx aussieht, du musst es für alle möglichen Zerlegungen deines Wortes betrachten. vwx könnte also auch nur aus Einsen bestehen oder aus einer Mischung. Das einzige, was man weiss, ist dass die Länge von vwx maximal n ist.

Gruß,

Adam (Tutor)

Beantwortet: Alternative Argumentation

Tue, 25 Nov 2014 08:27:11 +0000

Hey,

die Erklärung auf der Musterlösung ist einfach noch ausführlicher. Deine Erläuterung ist etwas knapp. Inwiefern das gewertet wird würden die Übungsleiter entscheiden.

LG, Yvonne (Tutor)

Beantwortet: Alternative Lösung: Schema wie bei EA

Tue, 25 Nov 2014 08:18:41 +0000

Die Idee mit dem Widerspruchsbeweis ist richtig, aber einfach das Verfahren vom Pumpinglemma für reguläre Sprachen abschreiben, geht nicht (selbst bei einer regulären Sprache wäre dein Beweis etwas lückenhaft). Dein Beweis sehr unvollständig und logisch alles andere als zwingend, gravierende Probleme sind u.a..:

- aus (1) und (2) kannst du nicht folgern, dass u=0^k . Es kann auch |u| > n gelten! --> vwx kann irgendwo im Wort sein. Für die Klausur wäre es auch gut, aufzuschreiben, was (1) und (2) überhaupt aussagt.

- warum ist das in der letzten Zeile ein Widerspruch?? und zu was? was folgt daraus?

Daher braucht man, wie in den anderen Beiträgen angesprochen, eine Fallunterschiedung, wo die Pumpstellen sind. Da hast nur den Fall, dass vwx innerhalb der ersten nullen liegt, betrachtet, und so getan, als ob das alle Fälle wären.

Die Lösung ist sehr ausführlich formuliert, aber es sind für einen korrekten Beweis ALLE angesprochenen Fälle nötig (siehe Kommentare der Übungsleiter).

Also: orientiere dich lieber an der Lösung zu dieser Aufgabe und den anderen Aufgaben zu diesem Thema als am Pumpinglemma für reguläre Sprachen.

Tobias (Tutor)

Vorgehensweise bei PPL für kontextfreie Sprachen

Tue, 25 Nov 2014 08:02:14 +0000

Allgemein bin ich von dem Vorgehen des PPL bei kontextfreien Sprachen verwirrt.

Beim PPL bei regulären Sprachen ist mir das Vorgehen klar und relativ logisch, also dass man sich x y und z definiert und dann ein i sucht bei dem der Ausdruck der Definition der Sprache widerspricht etc..(also es nur grob und schnell dahin gesagt, ich weiß das müsste besser beschrieben werden, aber darum gehts mir ja gerade nicht ;))

Aber bei den kontextfreien scheint es für mich bei jeder Aufgabe ein andere Art von Lösungsweg zu geben, die ziemlich lang und komplex ist. Wieso kann man hier nicht vorgehen wie bei regulären Sprachen?

Ich weiß, dass reguläre Sprache nur eine und kontextfreie Sprachen 2 Pumpstellen haben.

Aber ich bin einfach komplett verwirrt von den kontextfreien PPL und hätte dazu gerne eine anschauliche Erklärung, wie man an solche Aufgaben am besten dran geht und was eigentlich die Logik dahinter ist.

Müssen generell alle 3 Fälle widerlegt werden?

Tue, 25 Nov 2014 07:59:11 +0000

Werden hier nur zur Veranschaulichung alle 3 Fälle widerlegt?

Ich dachte bisher immer, wenn nur ein Fall vom PPL verletzt wird, gibt es aufjedenfall schon einen Widerspruch zur Annahme.

Demnach hätte ich nach dem ersten Punkt aufgehört.

Oder muss man für kontextfreie Sprachen alle Fälle widerlegen?