Ist Widerspruchsbeweis durch definieren von xy & z zulässig?

Question

"...müssen wir für alle Zerlegungen zeigen, dass sie 1-3 nicht erfüllen können..."

Heißt das, man kann xy nicht definieren als $1^n$ und z als $0^n$ und dann unter der Bedingung $x=1^j$ und $y=1^{n-j}$ das y aufpumpen mit beliebigen i um zu zeigen, dass unterschiedliche Anzahl von einsen und nullen herauskommt?

Mit anderen Worten, darf ich die einsen als xy definieren und die nullen als z oder zeige ich den Wiederspruch damit nicht allgemeingültig?

 

lg

 

Answer 1

Nein, wenn du $w = 0^n1^n$ wählst, darfst du hier nicht die Einsen als xy und die Nullen als z definieren, da $w=xyz$ sein soll (hier wird also eine Reihenfolge von x,y und z bestimmt). Da $|xy|\leq n$ (1) kann xy nur aus 0 bestehen und z demzufolge nur aus 1.

Sven (Tutor)

 

Comments

Aus der Aufgabenstellung geht $w=0^n1^n$ doch nicht hervor, oder? Es geht ja nur um die Anzahl an Zeichen. Somit ist der Fall $0^n1^n$ eben ein schönes Beispielwort, um den Widerspruchsbeweis zu führen.
Abgesehen davon ist es aber erlaubt $xy= 0^n$ zu setzen und gleichzeitig $z = 1^n$, um dann einfach die nullen aufzupumpen? Man muss nicht, wie in der Musterlösung, das z mit in den "Bereich" von den nullen mit reinnehmen (bspw: $z=0^{n-j}1^n$ unter der Bedingung $xy=0^j$)?

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Sie haben recht, dass aus der Aufgabenstellung nicht die Reihenfolge sondern nur die Anzajhl der Zeichen hervorgeht.

Solange Sie die Eigenschaften des PL einhalten, können Sie Ihr Wort beliebig wählen. Wichtig ist aber, dass Sie es so wählen, dass Sie auch zu einem Wiederspruch kommen.

Viele Grüße
Friederike Pfeiffer

Answer 2

Hallo,

ich verstehe leider nicht ganz, wie man am Ende auf $z = 0^{n-k}1^n$ kommt.

Weil man nimmt doch den Fall an, dass $i=0$ ist. Also $w' = xy^0z$

Demnach hätte ich gedacht, dass $y^0 = 1$ ist, also man dann da stehen hat:

x1z=0^{j-k}10^{n-j}1^n=0^{n-k}1(n+1)

Wo liegt mein Denkfehler?

Danke

 

Comments

Es gilt $y⁰ = leeres Wort$ (im Gegensatz zum Rechnen mit (reellen) Zahlen, wo $y⁰ = 1$ wäre). Damit bekommt man dann $w' =xy⁰z=xz$. Die Hochzahl gibt an, wie oft man die Basis hintereinander schreiben muss, z.b. $1²=11$ usw.

Außerdem ist es hier im Allgemeinen nicht möglich, die Reihenfolge der Potenzen zu vertauschen, da sich dann die Reihenfolge der Zeichen des Wortes ändert und damit im Allgemeinen das Wort nicht gleich bleibt, zum Beispiel gilt $0011 = 0^2 1^2$  != $1^2 0^2 = 1100$.

Daher ist auch die Umformung $0^{j-k}10^{n-j}1^n$  = $0^{n-k}1(n+1)$ falsch, da die einzelne 1 links zwischen nullen steht und rechts nicht.

Tobias (Tutor)