DEA und NEA für $\emptyset$, $\lambda$ und $E^\star$

Question

Hallo,

Im Hinweis steht: "Die zugehörigen (nichtdeterministischen) endlichen Automaten bestehen bspw. beide aus nur einem einzigen Zustand,der für $E^\star$  gleichzeitig Endzustand ist und für $\emptyset$ nicht."

Meine Fragen lauten:

1. Der NEA für die leere Menge $\emptyset$ müsste doch aus zwei Zuständen bestehen:

$q_0$ als Startzustand;

$q_1$ als Endzustand (da mindestens ein Endzustand existieren muss) ;

keine Übergänge (da der akzeptierende Automat nie erreicht wird -> leere Sprache)   Sind DEA und NEA für $\emptyset$ identisch ?

2. Unterscheiden sich DEA/NEA für die leere Sprache $\emptyset$ und das leere Wort $\lambda$?  Beim NEA für $\lambda$ müsste es doch zwei Zustände (einen Startzustand, einen Endzustand und einen $\lambda$-Übergang) geben? DEA für $\lambda$ müsste doch nur einen Zustand (Startzustand und Endzustand in einem; $\lambda$-Übergang in sich) besitzen? 

3. DEA/NEA für $E^\star$ besteht doch einfach nur aus einem Zustand (Start- und Endzustand)

Vielen Dank im Voraus!
 

Answer 1

Der NEA für die leere Menge $L=\emptyset$ sieht folgendermaßen aus:

Script:

fsm:

s0;

 

Der NEA für $L=E^\star$ sieht so aus (unabhängig vom Inhalt von $E$):

 

 

Script:

 

fsm:

s0:f;

 

Der entsprechende DEA für die leere Menge ergibt sich (abhängig von $E$) aus dem NEA durch den Algorithmus aus der Vorlesung zu ($E$ soll dabei für alle Zeichen $e \in E$ stehen):

 

 

 

Und der DEA für $E^\star$ analog zu:

 

Ein NEA für die Sprache $L=\{\lambda\}$ ist: 

Script:

 

fsm:

s0:f-E-s1;

 

Und der entsprechende DEA:

 

 

Warum das so ist, lasse ich Sie erst einmal selber überlegen, aber Sie dürfen gerne nochmal nachfragen, wenn es weitere Unklarheiten gibt.

 

(Selbstverständlich sind alle DEAs auch NEAs, aber nicht umgekehrt. NEAs kann man sich also in gewisser Weise schenken, wenn DEAs gegeben sind - aber natürlich sind die NEAs hier kompakter als die zugehörigen DEAs. Die angegebenen DEAs hier sind alle minimal, bei den NEAs haben wir keinen Minimalitäts-Begriff definiert.)